Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

1. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Faktoriál VY_32_INOVACE_M4r0102 Mgr. Jakub Němec

2. Faktoriál • Faktoriál čísla je číslo, které je rovno součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných číslu , tzn. že pro činitele platí:, v případě, že , je hodnota faktoriálu rovna jedné. • Faktoriál značímea tento zápis čteme jako „n faktoriál“. • Faktoriál se v kombinatorice hojně využívá, především díky své vlastnosti, že se čitatelé zmenšují o jedničku, což se výborně hodí k využití kombinatorického pravidla součinu a k jeho aplikacím.

3. Vlastnosti faktoriálu • Každý součin, který tvoří faktoriál, je konečný. • Pokud je faktoriál určitého čísla, je možné jej rozepsat na součin všech jeho členů: • Faktoriál neznámého čísla lze také rozepsat na součin. Z definice již víme, že platí . • Podobně jako u faktoriálu určitého čísla je možné faktoriál neznámého čísla částečně rozepsat, což se nám bude hodit při úpravách výrazů s faktoriálem:

4. Upravte výrazy. U prvního příkladu je zřejmé, že můžeme vypočítat každý faktoriál zvlášť a poté zlomky zkrátit. Existuje však jednodušší postup: upravit faktoriály, které poté zkrátíme. Druhý příklad je již obtížnější, ale obdobným postupem získáme výsledek. Třetí příklad je již obtížný. Sami si můžete zvolit, zda nejprve upravíte zlomky a poté odečtete, nebo zda nejdřív odečtete (zde je nutná dobrá znalost rozepisování faktoriálu) a poté upravíte výsledek na základní tvar.

5. Upravte výrazy a určete definiční obor. Stejný postup jako u určitého faktoriálu můžeme využít i pro neurčitý faktoriál. U něj si však musíme dát pozor na definiční obor, protože faktoriál záporného čísla neexistuje.

6. Úkol závěrem • 1) Upravte výrazy. U výrazu s faktoriálem neznámé určete definiční obor: • a) • b) • c)

7. Zdroje • Literatura: • Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.