Aula 8: Determinantes (continuação)

1. Aula 8: Determinantes (continuação)

2. Mais propriedades dos determinantes D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: Exemplo: D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r-ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n então: Exemplo: (Quadro)

3. Mais propriedades dos determinantes D11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então: Consequência: D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0. D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então: D14: Se A é invertível então: D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.

4. Determinantes, sistemas e invertibilidade Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: • A é invertível. • Ax=0 só tem a solução trivial. • A forma escalonada reduzida por linhas de A é In. • A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. • Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1. • Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1. • det(A)≠0.

5. Expansão em cofatores Definição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor de aij é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Exemplo: Definição: (cofator) O número (-1)i+j Mij e denotado por Cij é chamado de o cofator de aij.

6. Expansão em cofatores Observe a fórmula para o determinante de ordem 3: (expansão em cofatores ao longo da primeira linha)

7. (expansão em cofatores ao longo da linha i) (expansão em cofatores ao longo da coluna j) Expansão em cofatores Teorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A). Exemplo: (Quadro)

8. Expansão em cofatores Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A). Exemplo: (Quadro)

9. Fórmula para inversa de uma matriz Teorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então Exemplo: (Quadro) Idéia da prova: Mostra –se que: Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como: Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:

10. Regra de Cramer Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é: onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna b. Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer Idéia da prova + Exemplo: Quadro

11. Regra de Cramer Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções: • Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é imcompatível. • Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e indeterminado. • Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.

12. Sistemas lineares da forma Ax=λx Muitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares e n incógnitas que aparecem no formato: Ax=λx onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como λx-Ax=0 ou ainda λIx-Ax=0 (λI-A)x=0. Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de A. Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada autovetor de A associado ao autovalor λ. (1) (2)

13. Sistemas lineares da forma Ax=λx Vimos que A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo (λI-A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λI-A) não é invertível, ou seja, det(λI-A)x=0 Exemplo: Expresse o sistema linear abaixo no formato (λI-A)x=0 encontre: (i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores associados a cada autovalor Equação característica de A