PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI & Bentuk acosx + bsinx

PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI & Bentuk acosx + bsinx

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dan persamaan trigonometri bentuk acosx + bsinx

Pertidaksamaan Trigonomteri pertidaksamaan yang memuat fungsi trigonometri dengan peubah sudutnya belum diketahui

Contoh • bentuk-bentuk • pertidaksamaan trigonometri • sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° • √2.cosx - 1 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π • tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180° • sin2x > ¼, untuk –π‹ x ‹π

Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan trigonometri berupa satu atau beberapa interval peubah sudut

Himpunan penyelesaian dari suatu • pertidaksamaan trigonometri • ditentukan dengan dua cara: • sketsa grafik fungsi trigonometri • garis bilangan

Dengan garis bilangan • langkah-langkahnya • Tentukan harga-harga nol • (pembuat nol fungsi). • 2. Gambarkan harga-harga nol • pada garis bilangan.

3. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada setiap ruas garis dengan menguji salah satu harga x di salah satu ruas garis. 4. Tentukan himpunan penyelesaian sesuai dengan soal.

Contoh 1 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sinx° > ½, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….

360° 0° Penyelesaian ▪ Harga nol dari persamaan sinx° = ½, pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah 30° dan 150° ▪ ▪ tentukan nilai sinx - ½ pada salah satu ruas garis (interval garis) misal x = 90°  sin90° - ½ = ½ > 0 + 150° 30°

30° 150° 0° 360° ▪ x = 90°  sin90° - ½ = 1 - ½ > 0 ▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah {x / 30° < x < 150°} +

Contoh 2 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan cosx° ≤ ½√2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….

360° 0° Penyelesaian ▪ Harga nol dari cosx° = ½√2, pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah 45° dan 315° ▪ ▪ uji interval 0°≤ x < 45° dengan mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 = cos30°- ½√2 = ½√3 - ½√2 > 0 + + 315° 45°

360° 0° ▪ x = 30°  cos30° - ½√2 > 0 ▪ karena cosx ≤ ½√2 atau cosx - ½√2 ≤ 0 (berarti negatif) maka himpunan penyelesaiannya adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°} + + 45° 315°

Contoh 3 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan 2sin2x° < 1, untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah….

Penyelesaian ▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1 → sin2x = ½ → sin2x = sin 30 2x = 30 + k.360 x = 15 + k.180 k = 0 diperoleh x = 15° 2x = (180 – 30) + k.360 x = 75 + k.180

180° 0° x = 75 + k.180 k = 0 → x = 75° ▪ harga x = 15° dan x = 75° digambar pada garis bilangan ▪ diuji x = 45° → sin2x - ½ = 1 - ½ > 0 ▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif) jadi, himpunan penyelesaiannya: {x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°} + 15° 75°

Contoh 4 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan cos(2x + 30)° < ½, untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah….

Penyelesaian ▪ Pembuat nol dari cos(2x + 30) = ½ → cos(2x + 30) = cos 60 2x + 30 = 60 + k.360 2x = 30 + k.360 x = 15 + k.180 k = 0 diperoleh x = 15° 2x + 30 = -60 + k.360

180° 0° cos(2x + 30) = cos 60 2x + 30 = -60 + k.360 2x = -90 + k.360 x = -45 + k.180 k = 1 diperoleh x = 135° ▪ harga x = 15° dan x = 135° digambar pada garis bilangan 15° 135°

180° 0° + + 15° 135° ▪ Diuji interval 15 < x < 135 dengan mengambil x = 30 → cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0 ▪ yang diminta cos(2x + 30)° - ½ < 0 (negatif). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x / 15°< x < 135°}

Bentuk : a.cosx + b.sinx Bentuk acosx + bsinx dapat diubah ke bentuk k.cos(x – α) dengan k = tan α = 0 ≤ α ≤ 360

tan α = sudut α dapat terletak di kuadran I, II, III atau IV tergantung tanda a dan b

Contoh 1 Ubahlah bentuk cosx + √3sinx menjadi bentuk kcos(x – α)

Jawab cosx + √3sinx  a = 1 dan b = √3 k = k = tan α = α = 60° Jadi, cosx + √3sinx dapat di ubah menjadi 2cos(x – 60°)

Contoh 2 Ubahlah bentuk -√3cosx + sinx menjadi bentuk kcos(x – α)

Jawab -√3cosx + sinx  a = -√3 dan b = 1 k = k = tan α = α = (180 – 30)° = 150° Jadi, -√3cosx + sinx dapat di ubah menjadi 2cos(x – 150°)

Contoh 3 Ubahlah bentuk cosx – sinx menjadi bentuk kcos(x – α)

Jawab cosx – sinx  a = 1 dan b = -1 k = k = tan α = α = (360 – 45)° = 315° Jadi, cosx - sinx dapat di ubah menjadi √2cos(x – 315°)

Contoh 4 Bentuk √3cosx – sinx dapat diubah menjadi bentuk kcos(x – α) adalah…. a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )

Jawab √3cosx – sinx  a = √3 dan b = -1 k = k = tan α = α = (2π – ) = Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah menjadi 2cos(x – )→ e

Contoh 4 Bentuk √3cosx – sinx dapat diubah menjadi bentuk kcos(x – α) adalah…. a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )

Persamaan : a.cosx + b.sinx = c Langkah-langkah penyelesaiannya: ▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – α) ▪ kcos(x – α) = c → cos(x – α) = c/k ▪ selesaikan persamaan sederhananya Syarat dapat diselesaikan: -k ≤ c ≤ k atau lcl ≤

Contoh 1 Nilai x yang memenuhi persamaan -√2 cosx° + √2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…. jawab: ▪ a = -√2 dan b = √2 → k = tanα =

tanα = → α = 135 ▪ 2cos(x – 135) = 1 → cos(x – 135) = ½ x – 135 = 60 + k.360 x = 195 + k.360 k = 0 → x = 195

→ cos(x – 135) = ½ x – 135 = -60 + k.360 x = 75 + k.360 k = 0 → x = 75 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 atau 195

Contoh 2 Himpunan penyelesaian persamaan √3 cosx° - 3sinx° = √3 untuk 0 ≤ x < 360 adalah…. jawab: ▪ a = √3 dan b = -3 → k = tanα =

tanα = → α = 300 ▪ 2√3cos(x – 300) = √3 → cos(x – 300) = ½ x – 300 = 60 + k.360 x = 360 + k.360 k = -1 → x = 0 1

→ cos(x – 300) = ½ x – 300 = -60 + k.360 x = 240 + k.360 k = 0 → x = 240 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0, 240 }

Contoh 3 Himpunan penyelesaian persamaan 2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…. jawab: ▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2 2√3cos2x – 2.sin2x = 2 √3cos2x – sin2x = 1 1

▪ √3cos2x – sin2x = 1 a = √3, b = -1 → k = = 2 tan α = α = 360° – 30° = 330° ▪ 2cos(2x - 330°) = 1 cos(2x – 330°) = ½ 2x – 330 = 60 + k.360

▪ 2x – 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° k = -1 → x = 15° → x = k = 0 → x = 195°→ x = ▪ 2x – 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180°

x = 135° + k.180° k = 0 → x = 135° → x = k = 1 → x = 315° → x = Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

SELAMAT BELAJAR

PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI & Bentuk acosx + bsinx