1 / 142

Trigonometri

Trigonometri. Baggrund – lidt græsk Beregninger på standardtrekanter Beregninger på retvinklede trekanter Beregninger på trekanter. Trigonometri - baggrund.

cedric
Download Presentation

Trigonometri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Trigonometri Baggrund – lidt græsk Beregninger på standardtrekanter Beregninger på retvinklede trekanter Beregninger på trekanter

  2. Trigonometri - baggrund Trigonometri er den del af geometrien, der hænger meget sammen med trekanter og bruges ved beregning af vinkler og sidelængder i trekanter. Trigonometri kommer af græsk: meter betyder måler (speedometer måler speed/hastighed, voltmeter måler volt mm.) metri betyder måling geo betyder jord (geografi, geometri. Altså betyder geo-metri egentlig jordmåling - og det var det, man brugte geometri til i oldtiden) trigon betyder trekant (så trigono-metri er altså trekantmåling)

  3. Standardtrekanter Standardtrekant: For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte standardtrekant: En standardtrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1. 1

  4. Standardtrekanter • Standardtrekant: • For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte standardtrekant: • En standardtrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1. • Og så er det ligegyldigt, hvordan trekanten så ellers ser ud! • Husk – at hypotenusen er den længste side i trekanten – siden over for den rette vinkel! 1 1

  5. Standardtrekanter Siderne i en retvinklet trekant: Du har tidligere lært, at de to sider op til den rette vinkel i en retvinklet trekant kaldes for kateter, mens den længste side kaldes hypotenusen. Kateterne er de to korteste sider i trekanten. I en standardtrekant har hypotenusen længden 1, mens de to kateter begge er mindre end 1. Nu vil du imidlertid lære, at også de to kateter har forskellige navne! A Hypotenusen Katete C B Katete

  6. Standardtrekanter I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter: A 1 C B

  7. Standardtrekanter I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter: Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A. Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt. A 1 C B

  8. Standardtrekanter I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter: Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A. Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt. Huskeregel: hos~ cos A 1 cos(A) C B

  9. Standardtrekanter … og længden af den modstående katete kaldes for sin(A), sinus til A. Med modstående katete menes ”den katete, der ligger modsat A” – altså den katete, der ligger over for A, og ikke har A som det ene endepunkt. A 1 C B sin(A)

  10. Standardtrekanter Altså: cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og sin(A) = længden af den modstående katete til A A 1 cos(A) C B sin(A)

  11. Standardtrekanter Altså: cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og sin(A) = længden af den modstående katete til A På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B: A 1 C B

  12. Standardtrekanter Altså: cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og sin(A) = længden af den modstående katete til A På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B: cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og A 1 cos(B) C B

  13. Standardtrekanter Altså: cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og sin(A) = længden af den modstående katete til A På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B: cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og sin(B) = længden af den modstående katete til B A 1 sin(B) cos(B) C B

  14. Standardtrekanter På denne måde kan vi se, at: cos(A) = sin(B) og sin(A) = cos(B) A 1 cos(A) sin(B) cos(B) C B sin(A)

  15. Standardtrekanter På denne måde kan vi se, at: cos(A) = sin(B) og sin(A) = cos(B) Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A. A 1 C B

  16. Standardtrekanter På denne måde kan vi se, at: cos(A) = sin(B) og sin(A) = cos(B) Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A. Derfor kan vi slutte os til, at cos(v) = sin(90o – v) og A v 1 cos(v) sin(90o-v) C B

  17. Standardtrekanter På denne måde kan vi se, at: cos(A) = sin(B) og sin(A) = cos(B) Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A. Derfor kan vi slutte os til, at cos(v) = sin(90o – v) og sin(v) = cos(90o – v) A v 1 cos(v) sin(90o-v) sin(v) C B cos(90o-v)

  18. Standardtrekanter Endelig opererer man med tangens: A v 1 cos(v) C B sin(v)

  19. længden af modstående katete længden af hosliggende katete Standardtrekanter Endelig opererer man med tangens: Ved tangens forstås… tan(A) = A v 1 cos(v) C B sin(v)

  20. længden af modstående katete længden af hosliggende katete sin(A) cos(A) Standardtrekanter Endelig opererer man med tangens: Ved tangens forstås… tan(A) = Dvs, at tan(A) = A v 1 cos(v) C B sin(v)

  21. længden af modstående katete længden af hosliggende katete sin(A) cos(A) Standardtrekanter Endelig opererer man med tangens: Ved tangens forstås… tan(A) = Dvs, at tan(A) = Tangens vil vi komme tilbage til senere! A v 1 cos(v) C B sin(v)

  22. Trigonometriske funktioner De 3 funktioner: cos(A) – cosinus til A, sin(A) – sinus til A og tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner.

  23. Trigonometriske funktioner De 3 funktioner: cos(A) – cosinus til A, sin(A) – sinus til A og tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner. På din lommeregner findes 3 taster til udregning af trigonometriske værdier, nemlig tasterne sin, cos og tan:

  24. Retvinklede trekanter Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: A c b C B a

  25. hosliggende katete hypotenusen b c Retvinklede trekanter Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = A c b C B a

  26. modstående katete hosliggende katete hypotenusen hypotenusen b a c c Retvinklede trekanter Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = = A c b C B a

  27. modstående katete hosliggende katete hypotenusen hypotenusen b a c c Retvinklede trekanter Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = = A c b C B a Det svarer fuldstændig til tidligere, hvor hypotenusen jo var = 1, og man derfor ikke kunne se, at der blev divideret med denne (at dividere med 1 ændrer ikke resultatet!)

  28. Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. A 20o 12 cm b C B a

  29. b c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: A 20o 12 cm cos(A) = b C B a

  30. b c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b C B a

  31. b c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm b C B a

  32. b c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm b C B a

  33. b c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm b ≈ 11,3 cm 11,3 cm C B a

  34. b a c c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: Siden a: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm b ≈ 11,3 cm 11,3 cm C B a sin(A) =

  35. b a c c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: Siden a: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm b ≈ 11,3 cm 11,3 cm C B a sin(A) = => a = sin(A)·c

  36. b a c c Retvinklede trekanter Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm. Beregn længden af de to andre sider. Siden b: Siden a: A 20o 12 cm cos(A) = => b = cos(A)·c b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm b ≈ 11,3 cm 11,3 cm C B 4,1 cm sin(A) = => a = sin(A)·c b = sin(20o)·12 cm = 0,342·12 cm b ≈ 4,1 cm

  37. Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A c b 38o C B 5,5 cm

  38. a c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A cos(B) = c b 38o C B 5,5 cm

  39. a c a cos(B) Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A cos(B) = => c = c b 38o C B 5,5 cm

  40. a c 5,5 a cos(38o) cos(B) Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A cos(B) = => c = c = cm c b 38o C B 5,5 cm

  41. a c 5,5 5,5 a cos(38o) cos(B) 0,788 Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A cos(B) = => c = c = cm = cm c b 38o C B 5,5 cm

  42. a c 5,5 5,5 a cos(38o) cos(B) 0,788 Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. a. Beregn længden af hypotenusen. A cos(B) = => c = c = cm = cm c ≈ 7 cm 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  43. Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  44. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  45. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = => b = sin(B)·c 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  46. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = => b = sin(B)·c b = sin(38o)·7 cm 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  47. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = => b = sin(B)·c b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm 7,0 cm b 38o C B 5,5 cm

  48. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = => b = sin(B)·c b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm c ≈ 4,3 cm 7,0 cm 4,3 cm 38o C B 5,5 cm

  49. b c Retvinklede trekanter Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm. b. Beregn herefter længden af kateten b. A sin(B) = => b = sin(B)·c b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm c ≈ 4,3 cm (Her kunne man også have brugt den pythagoræiske læresætning!) 7,0 cm 4,3 cm 38o C B 5,5 cm

  50. Retvinklede trekanter Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. A c b C B a

More Related