1 / 40

TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI. DI SUSUN OLEH : BEKTI OKTAVIANA 201013500055 ARIS UTOYO 201013500057 MAHARANI CITRA JATI 201013500074 DITA MASTITI 201013500091 KOKOM KOMALASARI 201013500101 ELISA WIWIT PUJI YANTI 201013500 103 KELAS R5A. Eliminasi Persamaan trigonometri sederhana

yama
Download Presentation

TRIGONOMETRI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TRIGONOMETRI • DI SUSUN OLEH : • BEKTI OKTAVIANA 201013500055 • ARIS UTOYO 201013500057 • MAHARANI CITRA JATI201013500074 • DITA MASTITI 201013500091 • KOKOM KOMALASARI 201013500101 • ELISA WIWIT PUJIYANTI 201013500103 • KELAS R5A

  2. Eliminasi Persamaan trigonometri sederhana Persamaan trigonometri lanjutan Segitiga menurut bentuk dalil-dalil segitiga Macam-macam segitiga Garis-garis istimewa pada segitiga Dalil sinus Dalil cosinus Macam-macam grafik fungsi Dalil-dalil siklometri Rumus –rumus fungsi siklometri SAP

  3. Sekiranya diketahui dua buah persamaan yang masing-masingnya mempunyai satu bilangan yang tidak dikenal yaitu x. Maka x dapat dihilangkan. Jadi dengan sendirinya tidak akan ada persamaan yang sama dalam kedua persamaan itu, sekiranya koefisien dari kedua persamaan itu tidak mempunyai persyaratan yang mesti dipenuhi keduanya.Syarat yang harus dipenuhi itu ialah menghilangkan x dari kedua persamaan itu. Menghilangkan x dari kedua persamaan itu disebut mengeliminasikans Eliminasi Kembali ke SAP

  4. Eliminasilah x dan y dari persamaan-persamaan ini: Latihan soal eliminasi Kembali ke SAP

  5. Umpamakan tg x =t dan tg y = u, maka sehingga dengan permisalan ini di peroleh : Jawaban soal eliminasi Kembali ke SAP

  6. Dari dua persamaan yang pertama diperoleh jika, a≠c dan p≠r: sehingga mempergunakan keikatannya dengan persamaan yang ketika diperoleh : atau umpama a = b, maka persamaan yang pertama menjadi palsu, sedangkan kalau a = c, maka persamaan dalam setiap kejadian akan identik. Seterusnya kalau p ≠q, maka y dapat diselesaikan dengan jalan dua penyelesaian dan seterusnya x dapat diselesaikan dari persamaan yang ketiga. Akhirnya diperoleh hasil persamaan dengan eliminasi ini : (a≠b, p≠q) Atau a =b = c (dengan catatan p = q ≠r) Atau p = q = r (dengan catatan a = b ≠c) Kembali ke SAP

  7. Persamaantrigonometriadalahsuatupersamaan yang memuatfungsitrigonometridarisuatusudut yang belumdiketahui. Contohpersamaantrigonometriadalah 2 sin x = 1, tan x + = 0, dancos x = Menyelesaikanpersamaantrigonometriadalahmencarisudut × yang membuatpersamaanmenjadibenar. Dalammenyelesaikanpersamaantrigonometrikitagunakanoperasialjabardanjugaidentitastrigonometrijikadiperlukan. Beberapapersamaantrigonometridapatdiselesaikandengancarapemfaktorandanmenyatakanpersamaantersebutdalamsatumacamfungsitrigonometrisaja. Persamaan trigonometri sederhana Kembali ke SAP

  8. Berikutiniakandiberikanpenyelesaianumumdaripersamaantrigonometri:Berikutiniakandiberikanpenyelesaianumumdaripersamaantrigonometri: 1. Padabagiansebelumnyakitadapatkanbahwafungsi sinus bernilaipositifdikuadran I dan II sertaperiodedasarnyaadalah 360°. Dengandemikian, penyelesaiandaripersamaan sin x = sin αadalah x = α + k . 360° atau x = (180 – α) + k . 360 °. dengan k = 0, ± 1, ± 2, … 2. Fungsikosinusbernilaipositifdikuadran I dan IV sertamempunyaiperiodedasar 360°, sehinggapenyelesaiandari cos x = cosαadalah x = α + k . 360° atau x = (- α) + k . 360°. dengan k = 0, ± 1, ± 2, … 3. Fungsitangenbernilaipositifdikuadran I dan III sertaperiodedasarnyaadalah 180°, sehinggapenyelesaiandari tan x = tan αadalah x = α + k . 180° dengan k = 0, ± 1, ± 2, … Kembali ke SAP

  9. Tentukansolusidari sin x + sin x cos x = 0 untuk 0° ≤ x < 360° Tentukansolusidari cos² x + sin x – 1 = 0 untuk 0° ≤ x < 360° Latihan soal persamaan trigonometri sederhana Kembali ke SAP

  10. Soalpertamamenggunakanpenyelesaianpemfaktoran: Sin x + sin x cos x = 0 sin x (1 + cos x) = 0 a. sin x = 0 b. 1 + cos x = 0 x = 0° cos x = -1 x = 180° Jadi, solusinyaadalah 0° dan 180° Soalkeduamenggunakanpenyelesaianmenyatakanpersamaantersebutdalamsatumacamfungsitrigonometri cos² x + sin x – 1 = 0 (subtitusi cos² x = 1 – sin² x) 1 - sin² x + sin x – 1 = 0 sin x - sin² x = 0 sin x (1 – sin x) = 0 a. sin x = 0 b. 1 – sin x = 0 x = 0°, 180° sin x = 1 x = 90° Jadi, solusinyaadalah 0°, 90°, dan 180° Jawaban soal persamaan trigonometri sederhana Kembali ke SAP

  11. Dibawah ini akan di bicarakan persamaan-persamaan yang penyelesaiannya dapat di kembalikan kepada a cos x+b sin x= c tipe-tipenya adalah • A tg x+ b cot x + c= 0 (a dan b ≠ c) Persamaan ini dapat di jadikan menjadi kuadrat dalam tg x, namun pendapat tidak secara logaritms dan kurang mantap dalam cara perhitungan. Supaya berbentuk logaritmis dan kedua bagian kiri dan kanan sama-sama di kalikan dengan 2 sinx cos x, sehingga persamaan berbentuk (a-b) cos 2x-c sin 2x= a+b. Bentuk dirubah begitu rupa sehingga menjadi bentuk : • Cos (2x+ϕ)-   Sin x sin (x-a) = p cos 2x. Sesudah kedua ruas di kalikan denga 2, maka di peroleh persamaan seperti berkut : Cos a – cos (2x-a) = p (1+ cos 2x), bentuk ini serupa dengan bentuk a cos + b sin x = c Persamaan trigonometri lanjutan Kembali ke SAP

  12. Carilah x dari sin x + cos x + tg x + cotg x ≠sec x + cosec x = a! Latihan soal persamaan trigonometri lanjutan Kembali ke SAP

  13. A sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d. Karena sin x cos x= ½ sin 2x dan kuadrat dari sin x cos x dapat dikembalikan kepada cos 2x maka di perbanya kedua ruas dengan 2, dan persamaan di rubah menjadi: A (1-cos 2x)+b sin 2x + c (1-cos 2x) = 2d, (c-a) cos 2x +b sin 2x= 2d-a-c dan seterusnya. Persamaan juga dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat dalam tg x. • Tg (x+a) + tg (x-a) = b. Dengan merubah tg x dengan sin x dan cos x, dalam mengalikan sekalian suku dengan penyebut, maka di peroleh : sin 2x= b cos (x+a)cos (x-a )= ½ b (cos 2x+ cos 2a) : maka di peroleh : -b cos 2x + 2 sin 2x = b cos 2a. Persamaan trigonometri lanjutan Kembali ke SAP

  14. Bentuk soal di atas di tulis dengan sin x dan cos x seluruhnya makan di perolehlah : dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan persamaan terakhir menjadi dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan persamaan terakhir menjadi Jawaban soal persamaan trigonometri lanjutan Kembali ke SAP

  15. 1. Jika dua buah sisi sebuah segitiga tidak sama panjang,maka sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang.Pada ΔABC, BC > AB ⇒ ∠BAC > ∠ACB Bukti: ΔABD samakaki ∠DAB = ∠ADB ∠ADB = ∠DAC + ∠ACD ∠DAB = ∠DAC + ∠ACD sehingga: ∠DAB + ∠DAC > ∠DAC + ∠ACD ∠BAC > ∠ACD atau ∠BAC > ∠ACB Segitiga menurut bentuk dalil-dalil segitiga B D 1 2 1 2 A C Kembali ke SAP

  16. 2. Jika dua buah sudut pada sebuah segitiga tidak sama, maka sisi terpanjang terletak di hadapan sudut terbesar Pada ΔABC, ∠A > ∠C ⇒ BC > AB Bukti: Digunakan bukti tidak langsung. Ada 3 kemungkinan hubungan antara BC dan AB yaitu: 1) BC < AB 2) BC = AB 3) BC > AB 1) Jika BC < AB, maka ∠A < ∠C (menurut Teorema I) 2) Jika BC = AB, maka ∠A = ∠C. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi BC =AB salah 3) Jadi kemungkinan yang benar BC > AB Segitiga menurut bentuk dalil-dalil segitiga B A C Kembali ke SAP

  17. 3. Dalam sebuah segitiga, jumlah panjang dua buah sisi, lebih panjang dari panjang sisi yang ketiga Jika pada ΔABC, AC yang panjangnya b adalah sisi terpanjang pun, b < a + c Segitiga menurut bentuk dalil-dalil segitiga Kembali ke SAP

  18. Jenis-jenissegitigadapatditinjaudariberdasarkan : • Panjangsisi-sisinya ; • Segitigasembarang • Segitigasama kaki • Segitigasamasisi • Besarsudut-sudutnya (i) Segitigalancip (0°<x<90°) (ii)Segitigatumpul (90°<x<180°) (iii)Segitigasiku-siku (90°) • Panjangsisidanbesarsudut • Segitigasiku-sikusamasisi • Segitigatumpulsama kaki Macam-macam segitiga Kembali ke SAP

  19. Tentukanjenissegitiga-segitigaberikutini a. ∆ ABC dengan < A=60°, < B=60°, dan < C=60° b. ∆ PQR dengan PQ=7cm, PR=5cm, RQ=7cm 2. Dari segitiga yang adadibawahinikelompokkan yang manamerupakanSegitigasama kaki, segitigasamasisi, segitigalancip, segitigasiku-siku,segitigatumpul. Latihan soal macam-macam segitiga b a Kembali ke SAP

  20. a. segitigasamasisi : karena < A=< B=< C, masing-masingsudutsamabesar. b. segitigasama kaki : karenabesardari PQ=RQ. - gambar A menunjukkansegitigasamasisi - gambar b menunjukkansegitigasiku-siku Jawaban soal macam-macam segitiga Kembali ke SAP

  21. GarisTinggi GarisBagi GarisBerat Garissumbu c cc d dd Gambar A , gariscdpadagambar B, gariscdgambar C, gariscd MerupakanGarisbagi. MerupakangaristinggiMerupakangarisberat Garis-garis istimewa pada segitiga D A C B Kembali ke SAP

  22. Perhatikangambardibawahberikut: Padagambardiatas, ΔABC yang adaadalahsegitigalancipdantumpul. Padamasing-masingsegitigadibuatgaristinggiCD yang panjangnyah. Padagambar (b), <CAD = 180° - A dan sin <CAD = sin (180° - A) = sin A. Untukkeduasegitigakitadapatkan: Sin A = atauh = b sin A dan, Sin B = atauh = a sin B Sehinggaa sin B = b sin A. Dalil Sinus Kembali ke SAP

  23. Denganmembagikeduaruasdengan sin A sin B diperoleh = • Denganmenarikgaristinggimelaluititik A dandengancara yang samadiperoleh: = • Gabungandarikeduapersamaandiataskitaperolehaturan sinus berikutini. Pada ΔABCdengansudut-sudutnyaA, B,danCsertaisi-isidihadapansuduttersebutberturut-turutadalaha, b,dancberlaku = = • Perludiperhatikanbahwaaturan sinus tersebutdapatdigunakandalamperhitunganpadasegitiga, jikadiketahui: 1. Duasudutdansembarangsisi 2. Duasisidansatusudutdidepansalahsatusisi Kembali ke SAP

  24. Tentukanunsur-unsurlainnyapadasegitiga ABC jika A = 30°, B = 70°, dan a = 4 • Tentukanunsur-unsursegitiga ABC jika a = 2, b = 6, dan A = 20° Latihansoaldalil sinus Kembali ke SAP

  25. Kembali ke SAP • Sketsasegitiga ABC sudut C denganmudahditentukan, yaitu C = 180° - A – B = 180° - 30° – 70° = 80° Untukmencarib, gunakanpasanganpertamadankeduadariaturan sinus, yaitu = ataub = = = 7, 52 Gunakanaturan sinus sekalilagiuntukmencaric, = atauc = = = 7, 88 Jadi, C = 80°, b = 7,52 danc = 7,88 • Denganaturan sinus = Sin B = = = 1,026 Karenanilai sinus tidakmungkinlebihbesardari 1, makatidakadasegitiga yang memenuhisoal. Jawabansoaldalil sinus

  26. Perhatikangambardisamping Dari titik C tarikgaristinggiCDsehinggadiperolehsegitigasiku-sikuADCdansegitigasiku-sikuBDC. Berdasarkanperbandingantrigonometripadasegitigasiku-sikuADC, makadiperoleh Cos A = atauAD = AC x cosA = bcosA Selainitu, berdasarkanteorema Pythagoras, berlaku DC² = AC² - AD² = b² - (bcosA)² = b² - b² cos² A Padasegitigasiku-sikuBDCberlaku BC² = DC² + BD² = b² – b² cos² A + (BA – AD)² = b² – b² cos² A + (c – bcosA)² = b² – b² cos² A + c² – 2 bccosA + b² cos² A a² = b² + c² – 2 bccosA DalilKosinus Kembali ke SAP

  27. Dengancara yang samaakankitaperolehrumus: b² = a² + c² - 2accosB c² = a² + b² - 2abcosC • Sehinggakitaperolehaturankosinusberikutini:  Pada ΔABCdengansudut-sudutnyaA, B, danCsertasisi-sisidihadapansuduttersebutberturut-turutadalaha, b, dancberlaku a² = b² + c² - 2bccosA b² = a² + c² - 2accosB c² = a² + b² -2abcosC • aturankosinustersebutdapatdiucapkan“kuadratdarisebarangsisisuatusegitigasamadenganjumlahkuadratsisi yang lain dikurangidua kali perkaliansisiitudikalikankosinussudutapitkeduasisitersebut”. • Aturankosinustersebutdapatdigunakanuntukmenentukanunsur-unsurlainnyapadasegitiga, jikadiketahuihal-halberikutini: 1. Duasisidansudutapitkeduasisitersebut 2. Tigasisi diketahui Kembali ke SAP

  28. Tentukanunsur-unsurlainnyapadasegitiga ABC, jika c = 10, b = 40, dan A = 120° • Tentukanunsur-unsurlainnyapadasegitiga ABC, jikadiketahui a = 7, b = 6, dan c = 8 Latihansoaldalilkosinus Kembali ke SAP

  29. 1. Denganaturankosinus, a² = b² + c² - 2bccosA = 40² + 10² - 2(40) (10) cos 120° = 1600 + 100 – 800 (-0,5) = 2100 a = 45, 825 • MeskipunBdanCdapatdicaridenganaturankosinus, tetapilebihmudahjikakitagunakanaturan sinus. UntukCkitacaridenganrumus = sehingga sin C = = = 0,189 • Jadi, C = 10,89° (sudut C haruslancipkarena A suduttumpul) Selanjutnya B = 180° - A –C = 180° – 120° – 10,89° = 49,11° Jawabansoalkosinus Kembali ke SAP

  30. 2. Kita hitungdahulusudut yang terbesar (sudutdihadapansisiterpanjang) yaitusudut C c² = a² + b² - 2abcosC 8² = 7² + 6² - 2(7) (6) cosC 64 = 85 – 84 cosC 84 cosC = 21 Cos C = 0,25 KarenacosCpositif, makaC = 75,52² • UntukmencariAdanBkitagunakanaturan sinus = ↔ sin B = = = 0,726 • SehinggaB = 46,55° DengandemikianA = 180° – B – C = 180° – 46,55° – 75,52° = 57,93° • JadiA = 57,93°, B = 46,55°, danC = 75,52° Kembali ke SAP

  31. Grafik sinus Macam – macamgrafik fungsi Kembali ke SAP

  32. Grafik kosinus Macam-macam grafik fungsi Kembali ke SAP

  33. Grafik tangen Macam-macam grafik fungsi Kembali ke SAP

  34. Dalam penyelesaian dari persamaan trigonometri, biasanya yang ditemui adalah bentuk-bentuk seperti berikut : sin X= a, cos Y= b, tg Z= c. Selain diketahui bahwa |a|≤1, maka dapat dicari besar X dari sin x= a, dan tidak mungkin dicari X sembarang yang tidak memenuhi harga mutlak dari a tersebut. Pengertian tersebut dapat dituliskan dengan kalimat seperti berikut : - X = adalah sebuah sudut, yang sinusnya sama dengan a - X = sudut dengan sinusnya = a - X = sudut sin a Untuk menuliskan pengertian di atas dengan singkat, maka dibuatlah sebuah sepakatan dan ditulis sebagai notasi, yaitu: arc sin a, atau dalam bahasa indonesia x = busur sin a (arc adalah kependekan dari arcus). Arc sin x adalah inversi dari sin x dan seturusnya. Arc sin x, arc cos x, dan arc tg x dinamakan fungsi siklometri, sedangkan x dalam fungsi siklometri itu disebut argumen. pengertian siklometri Kembali ke SAP

  35. Fungsi siklometri yang paling sederhana adalah y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = sec x, y = coses x, dan y = cot x. Relasi f dari x dan y merupakan fungsi siklometri. Masalahnya: relasi apakah g dari y ke x ? Mari ikuti uraian berikut: X dalam radian, x = arcus (busur) AB (arcus di baca arkus). Misal: Sin , pernyataan tersebut dapat dibaca: adalah suatu sudut yang sinusnya sama dengan atau ⅙ Atau: adalaharcusyang sinusnyasamadengan Makaberarti: sin <----> = arc sin Fungsi siklometri x f y x g Kembali ke SAP

  36. Umumnya: y sin x <----> x Definisi: Jika f: X  Y relasigoniometrimaka g: Y  X merupakanrelasisiklometri. Bila f: y sin x dan g: x + arc sin y, dinyatakandengannotasihimpunan: jikamaka atau g yang merupakanrelasisiklometritersebutdisebutinversdari f, yang biasanyaditulis f-1 (g = f-1dan g-1 = f). lebihlanjutkitabicarakanrelasisiklometri<----> Kembali ke SAP

  37. Ternyata suaturelasi yang bukanfungsi, karenaterdapatbanyaknilai x yang memenuhi.Agar relasimerupakanfungsimaka x harustunggal, syaratnya: jika atau untuk membedakan relasi X: arc sin y, fungsi fungsi siklometri. Dengan demikian atau Misal atau dinamakan harga utama atau harga utamanya , , Kembali ke SAP

  38. rumus –rumus fungsi siklometri Kembali ke SAP

  39. X =? • Π, x = ? • x utama = ? Latihansoalrumus –rumus fungsi siklometri Kembali ke SAP

  40. a. b. c. Jawabansoalrumus –rumus fungsi siklometri  Kembali ke SAP

More Related