Stereometrie

1. Stereometrie Vzájemná poloha dvou rovin VY_32_INOVACE_M3r0104 Mgr. Jakub Němec

2. Vzájemná poloha dvou rovin • Podobně jako u přímek v rovině můžeme i u rovin v prostoru určit tři vzájemné polohy, které jsou odvozeny od počtu společných bodů: • Dvě roviny nemají žádný společný bod – roviny jsou rovnoběžné. • Dvě roviny mají jeden společný bod, potom musí mít i společnou přímku – roviny jsou různoběžné. • Dvě roviny mají všechny body společné – roviny jsou totožné.

3. Rovnoběžnost dvou rovin • Stejně jako v předchozích lekcích můžeme dokázat rovnoběžnost dvou rovin pomocí několika kritérií. • Dvě různé roviny jsou rovnoběžné, pokud jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou rovnoběžné s druhou rovinou (tzn. v druhé rovině lze nalézt takové přímky, které jsou rovnoběžné s různoběžnými přímkami první roviny. • Daným bodem, který nenáleží rovině, lze vést jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.

4. Začneme nejprve jednoduchým příkladem. Mějme v krychli ABCDEFGH dvě roviny určené body ADH a BCF. Je zřejmé, že tyto roviny jsou rovnoběžné, protože jsou to protější stěny krychle. Příklady dvou rovnoběžných rovin

5. Jako důkaz můžeme najít dvě různoběžné přímky v rovině ADH, které mají své rovnoběžky v rovině BCF. Stačí, když si vybereme libovolné dvě hrany stěny ADEH. Najít jejich rovnoběžky je snadný úkol. Přímky si samozřejmě můžeme vybrat libovolně, např. úhlopříčky stěn, popř. přímky, které nejsou určeny vrcholy krychle.

6. Druhý příklad je již obtížnější. Mějme v krychli ABCDEFGH roviny BFH a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, EF a EH.

7. Určíme si první dvojici rovnoběžek. Je zřejmé, že přímky KL a BF jsou rovnoběžné. Můžeme to dokázat tak, že vzdálenost mezi body KB a LF je stejná.

8. Druhou dvojici přímek můžeme zvolit například v horní podstavě. Přímky FH a LM jsou rovnoběžné. Jejich rovnoběžnost lze zdůvodnit např. podobností trojúhelníků ELM a EFH. Máme tedy dvě dvojice různoběžných přímek – BF a KL, FH a LM, a proto jsou dané roviny rovnoběžné.

9. Poslední příklad k rovnoběžnosti dvou rovin je opět o něco obtížnější. Mějme v krychli ABCDEFGH roviny ACH a BEG.

10. Jak lze vidět, jsou roviny tvořeny úhlopříčkami bočních stěn krychle ABCDEFGH. Vezměme si například přímku AC, která leží v modré rovině ACH. Její rovnoběžka EG leží v červené rovině BEG.

11. Jako druhou dvojici přímek si můžeme vybrat přímky CH (modrá rovina ACH) a BE (červená rovina BEG). Dokázali jsme, že dvě různoběžné přímky jedné roviny mají své rovnoběžky v druhé rovině, proto jsou roviny rovnoběžné.

12. Různoběžnost dvou rovin • Kritérium různoběžnosti jsme naznačili již ve výčtu vzájemných poloh dvou rovin, nyní si jej představíme celé. • Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají také společnou přímku, která tímto bodem prochází. Kromě této přímky nemají žádný jiný společný bod. • Takovouto přímku nazýváme průsečnice rovin. • Průsečnice má mnoho zajímavých vlastností. My nejčastěji využijeme tuto: Je-li přímka rovnoběžná různoběžnými rovinami, je rovnoběžná také s jejich průsečnicí.

13. Nejjednodušším příkladem dvou různoběžných rovin v krychli ABCDEFGH jsou dvě libovolné sousední stěny krychle. Mějme např. roviny určené body ABC a BCF. Příklady dvou různoběžných rovin

14. Společnými body obou rovin jsou body B a C, díky kterým můžeme vytvořit přímku. Přímka BC je průsečnicí rovin ABC a BCF.

15. Mějme v krychli ABCDEFGH roviny ACE a BDH.

16. Průsečíky úhlopříček horní a dolní podstavy, které zároveň patří do našich rovin, nám spolehlivě odhalí společné body rovin ACE a BDH. Označme si je S a T.

17. Společné body S a T rovin ACE a BDH určují přímku ST, která je zároveň průsečnicí těchto rovin.

18. Mějme v krychli ABCDEFGH roviny BEG a ACF. Fakt, že jsou různoběžné, je zřejmý již z obrázku, my však chceme různoběžnost dokázat.

19. Obě roviny mají přímky v přední stěně krychle ABE a boční stěně krychle BCF. Jsou to úhlopříčky těchto stěn. Jejich průsečíky určí společné body rovin, pojmenujme je S a T.

20. Společné body S a T rovin ACF a BEG určují přímku ST, která je zároveň průsečnicí obou daných rovin.

21. Úkol závěrem • V krychli ABCDEFGH urči všechny roviny určené vrcholy krychle a bodem H, které jsou k rovině BCF: • a) rovnoběžné • b) různoběžné. • Urči a dokaž v krychli ABCDEFGH vzájemnou polohu daných rovin: • a) CFH a BDE • b) BEH a ACG • c) AFG a BDH

22. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.