1 / 51

Konsep Matriks

MATRIKS. Konsep Matriks. Macam-macam Matriks. Kompetensi Dasar : Mendeskripsikan macam-maca matriks Indikator : Matriks ditentukan unsur dan notasinya Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya. Macam – macam Matriks. Pengertian Matriks.

andie
Download Presentation

Konsep Matriks

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATRIKS Konsep Matriks

  2. Macam-macam Matriks Kompetensi Dasar : Mendeskripsikan macam-maca matriks Indikator : • Matriks ditentukan unsur dan notasinya • Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya Matriks

  3. Macam – macam Matriks Pengertian Matriks • Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. • Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn baris A = Notasi: Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n kolom Matriks

  4. 2 5 1 -8 25 -2 0 14 8 Macam-macam Matriks 1. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Matriks

  5. 2 -7 9 2 1 Macam-macam Matriks 2. Matriks Kolom Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom Matriks

  6. Macam – macam Matriks 3. Matriks Persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3 diagonal utama Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama Matriks

  7. 3 2 4 1 A = DETERMINAN DAN INVERS Contoh: Invers matriks 2x2 A-1 I = = Matriks

  8. Macam- macam Matriks 4. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 0 0 0 Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0 I3 I4 I2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 Matriks

  9. 0 -1 1 0 0 1 -1 0 A = AT= ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 B = BT= Macam-macam Matriks 5. Matriks ortogonal Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1 = A-1 = B-1 (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT Jika A adalah matriks orthogonal, maka(A-1)T = (AT)-1 Matriks

  10. 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = Macam – macam Matriks Definisi: Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. 4 5 2 3 6 -9 77 AT = A’ = • [AT]ij = [A]ji n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……….. Matriks

  11. 1 2 4 2 1 3 1 2 4 2 1 3 A = B = 1 2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 C = D = 1 2 4 2 2 2 x 2 4 2 2 2 E = F = ? ? ? ? ? ? ? ? ? • 2 2 • 5 6 • 9 0 7 H = G = Macam – macam Matriks Kesamaan dua matriks • Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. A = B C ≠ D E = F jika x = 1 2 2 2 5 4 6 G = H 9 0 7 Matriks

  12. 4 2 2 3 4 2 2 3 A = A’ = Macam-macam Matriks Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT A simetri 1 2 3 4 2 5 7 0 37 8 2 4 0 2 9 A = = AT Matriks

  13. 4 2 6 7 5 3 -9 7 Macam-macam Matriks Sifat-sifat transpose matriks • Transpose dari A transpose adalah A: • (AT )T = A (AT)T A = A AT Contoh: 4 5 2 3 6 -9 77 4 5 2 3 6 -9 77 Matriks

  14. T T T A A+B B = + • (A+B)T = • AT • BT + Macam-macam Matriks 2. (A+B)T = AT + BT Matriks

  15. Macam-macam Matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k T A kA T k • (kA)T = k(A)T Matriks

  16. T T T B AB A Macam-macam Matriks 4. (AB)T = BT AT = • (AB)T • = BTAT • AB Matriks

  17. Macam-macam Matriks Soal : Isilah titik-titik di bawah ini • A simetri maka A + AT= …….. • ((AT)T)T = ……. • (ABC)T = ……. • ((k+a)A)T = …..... • (A + B + C)T = ………. • Kunci: • 2A • AT • CTBTAT • (k+a)AT • AT + BT + CT Matriks

  18. OPERASI MATRIKS Kompetesi Dasar Menyelesaikan Operasi Matriks Indikator • Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau pengurangannya • Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya Matriks

  19. 10 22 1 -1 2 6 7 5 A = B = 10+2 22+6 1+7 -1+5 12 28 8 4 A + B = = 10-2 22-6 1-7 -1-5 8 16 -6 -6 A - B = = OPERASI MATRIKS Penjumlahan dan pengurangan dua matriks Contoh : Matriks

  20. OPERASI MATRIKS Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? Jawab: Ordo dua matriks tersebut sama • A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, • A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij Matriks

  21. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 K = L = 25 30 5 35 10 15 5 6 1 7 2 3 C = D = ? ? ? ? ? ? C + D = ? ? ? ? ? ? ? ? ? K + L = OPERASI MATRIKS Jumlah dua matriks D + C = L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif? Matriks

  22. -8 0 • 4 7 2 • -1 8 4 • 6 -1 2 • 9 9 8 • -2 16 8 • 7 2 • 5 2 6 • -1 8 4 D = • 7 2 • 5 2 6 C = C +D = E = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = B = OPERASI MATRIKS • Soal: • C + D =… • C + E = … • A + B = … Feedback: Matriks

  23. 5 6 1 7 2 3 A = OPERASI MATRIKS Hasil kali skalar dengan matriks 5x5 25 5x1 5 5x6 30 5A = = 5x5 35 5x3 15 5x2 10 Apa hubungan H dengan A? 250 300 50 350 100 150 H = 50 H = A • Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: • (cA)ij = c.(A)ij = caij • Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama) Matriks

  24. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4K = 5 20 -45 15 35 0 25 45 -65 5K = OPERASI MATRIKS • K 3 x 3 Matriks

  25. 7 2 • 5 2 6 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 7*0 7*0 7*0 7*0 7*0 7*0 cA = cA = OPERASI MATRIKS • Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Contoh: c = 7 c = 0 kesimpulan Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja. Matriks

  26. ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 1 2 7 -6 4 -9 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = B = OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks • Definisi: • Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: r • (C)ij = (AB)ij = A B AB • Syarat: r xn m xn m xr Tentukan AB dan BA Matriks

  27. 1 2 7-6 4-9 11 3 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = B = OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks Contoh : = 2.1+3.7+4.4+5.11-35 -49-35 -94-55 94-35 -49 -35 -94 -55 A B = = BA tidak didefinisikan Matriks

  28. A B B A m x n m x n n x k n x k A = B = 2 3 2 3 3 -3 -2 2 OPERASI MATRIKS 1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? m = k AB dan BA matriks persegi ABmxm ABnxn 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? AB = 0 0 0 0 AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol Matriks

  29. 1 2 -9 0 8 0 5 6 2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6 A = B = 7 -11 4 3 5 -6 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9 C = D = OPERASI MATRIKS Contoh 1: Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi. • A B = ?? • AC = ?? • BD = ?? • CD = ?? • DB = ?? Matriks

  30. Contoh 2: A = 2 3 1 2 A A A …A OPERASI MATRIKS 2 3 1 2 2 3 1 2 A2 = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 A3 = A x A2 = A0 = I An = n faktor An+m = An Am Matriks

  31. DAN DETERMINAN INVERS Kompetensi Dasar: Menentukan determinan dan invers Indikator : • Matriks ditentukan determinannya • Matriks ditentukan inversnya Matriks

  32. DETERMINAN DAN INVERS Determinan Matriks ordo 2 x 2 Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua. Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A = Determinan A adalah det A = = ad - bc Matriks

  33. DETERMINAN DAN INVERS B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1 I A A A-1 A-1 = = Jika A = , maka Matriks

  34. DETERMINAN DAN INVERS Contoh 1 : Tentukan invers dari matriks Jawab : det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B tidak memiliki invers Matriks

  35. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 1 0 0 1 5 1 1 2 0 1 0 2 0 0 4 1 1 0 0 1 c. d. a. a. b. d. DETERMINAN DAN INVERS Contoh : 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers? ad-bc = 0 2. Tentukan invers matriks berikut ini b. tidak mempunyai invers c. tidak mempunyai invers Matriks

  36. 4 2 2 2 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 4 2 1 2 2 1 3 3 1 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 DETERMINAN DAN INVERS Contoh 2 : Diketahui matriks Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I 1 0 0 1 = = A A-1 A-1 A I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = B I B-1 B B-1 Matriks

  37. DETERMINAN DAN INVERS Matriks ordo 3 x 3 Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut. _ _ _ + + + Matriks

  38. DETERMINAN DAN INVERS Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks Misal SPL Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks berikut Matriks

  39. DETERMINAN DAN INVERS maka dapat ditulis Misalkan Matriks

  40. DETERMINAN DAN INVERS Contoh : Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear Jawab : Sistem persamaan Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi Matriks

  41. DETERMINAN DAN INVERS Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan Jadi nilai x = 5 dan y = 2 Matriks

  42. DETERMINAN DAN INVERS Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan determinan atau aturan Cramer. Misal SPL Maka dengan aturan Cramer, diperoleh dan Matriks

  43. DETERMINAN DAN INVERS Contoh : Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear Jawab : Dengan aturan Cramer diperoleh Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}. Matriks

  44. DETERMINAN DAN INVERS • Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan menggunakan Matriks • SPL dalam bentuk: • Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn = x1 x2 : xn b1 b2 : bn x b A:matriks koefisien Ax = b Matriks

  45. DETERMINAN DAN INVERS Contoh : x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x3 = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut 6 1 4 6 1 4 1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1 x2 x3 1.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 = = Matriks

  46. 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 A= DETERMINAN DAN INVERS Perkalian dengan matriks identitas 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X A.I = = 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X = I.A = Matriks

  47. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 DETERMINAN DAN INVERS • AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? = = A I I A A = = AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas) Matriks

  48. 4 2 2 2 a b c d A-1 ½ -½ -½ 1 A-1 1 ad - bc d -b -c a DETERMINAN DAN INVERS 1 0 0 1 = I A-1 A 1 0 0 1 = = = Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers. Matriks

  49. DETERMINAN DAN INVERS • Invers dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C (A-1)-1 2.(A-1)-1 = A 4 2 2 2 A = 1 0 0 1 ? ½ -½ -½ 1 = ½ -½ -½ 1 A-1 = A-1 4 2 2 2 A Matriks

  50. 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 A = A-1 = 0.625 -1 -1 1.625 (A3)-1 = DETERMINAN DAN INVERS • Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… 104 64 64 40 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 A3 = = sama ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 0.625 -1 -1 1.625 (A-1)3 = = Matriks

More Related