MATRIKS

1. MATRIKS Widita Kurniasari, SE, ME Universitas Trunojoyo

2. Pengertian Matriks & Vektor • Matriks : kumpulan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang dan dibatasi oleh tanda kurung • Vektor : bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom

3. a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . . . . . . am1 am2 … amn Matriks ini terdiri atas m baris dan n kolom atau berorde m x n Matriks yang jumlah baris = kolom disebut matriks bujur sangkar • Penulisan Matriks • Penulisan Vektor A = a = 2 4 -5 Vektor baris 2 4 -5 b = Vektor kolom

4. JENIS-JENIS MATRIKS • Matriks baris disebut juga vektor baris • Matriks kolom disebut juga vektor kolom • Matriks nol = semua elemennya adalah nol • Transpose matriks : matriks yang diubah dengan cara menukarkan elemen baris menjadi elemen kolom (AT) • Negatif suatu matriks = matriks yang semua elemennya dikalikan -1 5 2 1 -2 3 4 6 0 7 5 -2 6 2 3 0 1 4 7 A3x3 = → AT = 5 2 1 -2 3 4 6 0 7 -5 -2 -1 2 -3 -4 -6 0 -7 A3x3 = X -1 =

5. 3 0 0 0 5 0 0 0 7 A3x3 = • Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya nol, kecuali elemen diagonal • Matriks skalar : matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama • Matriks satuan (identity matrix) : matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama = 1. 7 0 0 0 7 0 0 0 7 A3x3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I3x3 =

6. 5 2 1 2 3 4 1 4 7 • Matriks simetris : matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transpose-nya = matriks semula. • Matriks silang : matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat bahwa transpose-nya = negatif matriks semula, yaitu AT = - A , sehingga elemen diagonalnya = 0 A 3x3 = →AT = A 0 2 -3 -2 0 6 3 -6 0 A 3x3 = →AT = - A

7. Matriks balikan (inverse matrix) : matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. A. A-1 = A-1.A = I contoh : -1 6 4 3 -1/9 2/9 4/27 1/27 A = A-1 = 1 0 0 1 A. A-1 = = I Tidak setiap matriks bujur sangkar mempunyai balikan (inverse)

8. Matriks ortogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan, A.A’ = I • Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak mempunyai balikan. • Matriks non singular adalah matriks bujur sangkar yang determinannya tidak nol. Matriks non singular mempunyai balikan (inverse)

9. OPERASI MATRIKS • Operasi jumlah dan selisih dua matriks dapat dilakukan kalau dua matriks itu berdimensi sama. • Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan kalau banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. contoh: Amxn . Bnxp = Cmxp 5 2 1 -2 3 4 1 -4 7 8 3 4 2 6 5 1 9 0 A 3x3 = B = 5 2 1 -2 3 4 1 -4 7 8 3 4 2 6 5 1 9 0 13 5 5 0 9 9 2 5 7 A + B= + =

10. 2 1 4 3 1 4 5 7 6 -2 3 4 1 -4 7 A3x3 = B3x2 = Diketahui : 5 7 6 -2 3 4 1 -4 7 2 1 4 5 1 3 A3x3 x B3x2= x 5x2 + 7x4 + 6x1 5x1 + 7x5 + 6x3 -2x2 + 3x4 + 4x1 -2x1 + 3x5 + 4x3 1x2 + -4x4 + 7x1 1x1 + -4x5 +7x3 = 44 58 12 25 -7 2 = Hasil kali adalah matriks berdimensi 3x2

11. Perkalian matriks tidak komutatif yaitu A x B ≠ B x A • Perkalian antara matriks A dengan inversnya berlaku komutatif A x A-1 = A-1 x A = I (matriks satuan) • Perpangkatan matriks An dimana n = 2, 3, 4, dst hanya dapat dilakukan kalau A adalah matriks bujur sangkar. Hasil dari perpangkatan ini tidak dapat dilakukan dengan memangkatkan tiap-tiap elemennya. Contoh : 43 16 17 14 18 15 35 23 32 • 3 4 • 2 -1 • 1 3 • 3 4 • 2 -1 • 1 3 A2 = A x A = x =

12. Keistimewaan operasi matriks : • Kalau A adalah matriks bujur sangkar dan A’ adalah transpose A maka : A + A’ = matriks SIMETRIS A – A’ = matriks SILANG • Kalau A adalah sembarang matriks (tidak perlu bujur sangkar) dan A’ adalah transpose A, maka : A x A’ = matriks SIMETRIS • Dalam perkalian matriks A x B bisa jadi hasilnya adalah matriks NOL. Misalnya : 8 -6 4 -20 15 -10 0 0 0 0 0 0 5 2 10 4 x =

13. Latihan • Dumairy hal. 305-309