MATRIKS

1. MATRIKS

2. 9.1 Definisi Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

3. Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,

4. Ukuransuatumatriksditunjukkanolehjumlahbaris m dankolom n. Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j. Umumnya suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks dapat juga ditulis sebagai A = [aij ]. Jika m = n , maka matriks disebut matriks persegi dan entri- entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks.

5. 9.2 Matriks Bentuk Khusus Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 9.2.1 Vektor Kolom Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom).

6. 9.2.2 Vektor Baris Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ] 9.2.3 Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 4 x 4 (4 baris dan 4 kolom).

7. 9.2.4 Matriks Segitiga Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yg berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tsb. adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i < j, aij = 0. Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga atas atau untuk setiap i> j, aij = 0

8. 9.2.5 Matriks Diagonal Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk setiap i ≠ j, aij=0.

9. 9.2.6 Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn 9.2.7 Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri- entri baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1. 9.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya = 0.

10. 9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 9.3.1 Penjumlahan Misal terdapat matriks A = [aij ] dan B = [bij] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. Contoh 9.1

11. 9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA= [c.aij], atau dapat ditulis dalam bentuk:

12. Contoh 9.2 Maka, 9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sama. Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A dengan matriks B, ditulis AB, adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran m x p.

13. Nilai dari cij adalah, (9.1) Contoh 9.3 Jika terdapat matriks C = A.B, maka

14. 9.3.4 Kombinasi linier matriks Jika A1, A2, … , Ap adalah matriks yang mempunyai ukuran sama, dan k1, k2, … , kp adalah skalar, maka k1 A1 + k2 A2 + … + kp Ap disebut kombinasi linier dari A1, A2, … , Ap Contoh 9.4 Diketahui, Tentukan A+ 3B – 2C Penyelesaian

15. A+ 3B – 2C 9.3.5 Transpos dari sebuah matriks Transpos dari suatu matriks A berorde m x n adalah matriks B berorde n x m yang didapat dari hasil mempertukarkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks B dan kolom pada matriks A menjadi baris pada matriks B

16. Contoh 9.5 9.3.6 Trace dari sebuah Matriks Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka trace dari A (trace of A) yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen pada diagonal A. Jika A bukan matriks persegi, maka tr(A) tidak dapat didefinisikan. maka tr(A) = a11 + a22 + a33

17. Contoh 9.6 maka tr(A) = –1 + 5 – 6 + 3 = 1 9.3.7 Matriks Simetri dan Skew-Simetri Jika sebuah matriks persegi sama dengan transposenya (A = AT), maka matriks tersebut adalah matriks simetri. Contoh 9.7

18. Karena A = AT, maka A adalah matriks simetri. Sedangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang memenuhi –A = AT. Contoh 9.8 Karena –A = AT , maka A adalah matriks skew-simetri. 9.3.8 Sifat-sifat Operasi Matriks Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku:

19. i) A + B = B + A hukum komutatif penjumlahan ii) A + (B + C) = (A + B) + C hukum asosiatif penjumlahan iii) A(BC) = (AB)C hukum asosiatif perkalian iv) A(B ± C) = AB ± AC hukum distributif kiri v) (B ± C)A = BA ± CA huklum distributif kanan • vi) a(B ± C) = aB ± aC • vii) (a ± b)C = aC ± bC • (ab)C = a(bC) • ix) a(BC) = (aB)C = B(aC) • x) (AT)T = A • xi) (A + B)T = AT ± BT • xii) (cA)T =cAT • xiii) (AB)T = BT AT

20. 9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier, Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien,

21. Matriks A yang diperluas 9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika memenuhi: i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol adalah 1 (disebut leading 1) dan harus terletak disebelah kanan leading 1pada baris sebelumnya.

22. Contoh 9.9 Matriks dalam bentuk eselon baris Contoh 9.10 Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris

23. 9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris Setiap kolom yg mempunyai leading 1 adalah satu-satunya elemen matriks yang bukan 0 pada kolom yg bersangkutan. Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah termasuk matriks eselon baris tereduksi Contoh 9.11 Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap matriks tersebut.

24. 9.7 Operasi Baris Elementer Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu matriks adalah: i) Perkalian sembarang baris dengan skalar ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu iii) Penjumlahan antara i) dan ii). Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris dan kolom: i) R3 2R3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali baris ke tiga ii) R1  R2 artinya baris pertama dan kedua dipertukarkan. iii) R2  R2 + 3R3 artinya baris kedua diganti dgn baris kedua ditambah dengan tiga kali baris ketiga

25. Contoh 9.12 Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks eselon baris tereduksi. Penyelesian Elemen pivot Elemen dieliminasi

26. Langkah pertama Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris pertama dengan 1/2. ½ R1 –5R1+R2 –4R1+R3 R1 – 1/2R2 2R2 R3 – 5R2

27. R1 + 7R3 R2 – 13R3 1/58R3

28. Latihan 1. Tentukan a) A + B b) ATB

29. 2. Apakah matriks berikut mempunyai bentuk eselon baris? 3. Apakah matriks berikut mempunyai bentuk eselon baris yang tereduksi?

30. 4. Ubah matriks berikut menjadi bentuk eselon baris! 5. Ubah matriks berikut menjadi bentuk eselon baris tereduksi!