MATEMATIKA 2

1. INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE Fouriereve koeficiente lahko izračunamo tudi za funkcije, ki niso periodične. fsoda ⇒ vsi bk=0 Dobljena Fouriereva vrsta je periodično nadaljevanje prvotne funkcije. 1 MATEMATIKA 2

2. INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE fliha⇒ vsi ak=0 2 MATEMATIKA 2

3. INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE lažji odgovor: če je fomejena in odsekoma zvezna, potem gre smv povprečju proti f, tj. težji odgovor: če je fodsekoma zvezna in odsekoma monotona in če v vsaki točki x obstajata leva in desna limitafunkcije f(x-)inf(x+), potem je 3 MATEMATIKA 2

4. INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE Osnovne funkcije: Funkcijoflahko razvijemo v Fourierevo vrsto na poljubnem intervalu [a,b]. Osnovne funkcije: sinx, cosx 4 MATEMATIKA 2

5. INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE Primerjava med Taylorjevo in Fourierevovrsto • Fouriereva vrsta • vsota trigonometričnih funkcij • koeficiente računamo z integrali • uporabna za zelo splošne funkcije, npr. odsekoma zvezne • periodična • enakomeren približek na celem intervalu • vrsto smemo členoma integrirati, odvajati pa le, ko je limitna funkcija zvezno odvedljiva • Taylorjevavrsta • vsota potenc • koeficiente računamo z odvodi, ostanek po Lagrangevem izreku • uporabna le za dovoljkrat odvedljive funkcije • področje konvergence določeno s polmerom konvergence • blizu središča konvergira hitro, navzven pa vedno počasneje • vrsto smemo členoma odvajati in integrirati 5 MATEMATIKA 2

6. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačbaje funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. diferencialnaenačbazaykotfunkcijox diferencialnaenačba 2. reda Reddiferencialne enačbeje red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialnaenačba3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe 6 MATEMATIKA 2

7. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda Rešitev diferencialne enačbeje funkcijay=y(x),pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0za vse x na nekem definicijskem območju. Enačba mora biti izpolnjena za vsex na nekem intervalu. 7 MATEMATIKA 2

8. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Velja: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev,ki je odvisna od nparametrov. 8 MATEMATIKA 2

9. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN GEOMETRIČNI POMEN DIFERENCIALNE ENAČBE y=y(x)je rešitev enačbey’=f(x,y) smernikoeficienttangentenagraf rešitve v točki x0je enak f(x0,y(x0)) funkcijaf(x,y)določapolje smeri: pri vsaki točki (x,y) z majhno puščico označimo smer s koeficientom f(x,y). krivulja, ki je v vseh svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y 9 MATEMATIKA 2

10. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN Polje smeri, določeno s f(x,y)=-y-sin3x. Rešitve se za x - malo razlikujejo, za x + pa povsem divergirajo. Polje smeri, določeno s f(x,y)=x2-y2+1in nekaj rešitev pripadajoče diferencialne enačbe. Vse rešitve imajo skupno asimp-toto, t.j. trend. 10 MATEMATIKA 2