1 / 10

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE. REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB. PICARDOVA ITERACIJSKA METODA. Numerična metoda za reševanje DE 1.reda, ki obenem daje zadostne pogoje za rešljivost DE 1.reda. (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x) = 0 preoblikovali v x=g(x). ).

leiko
Download Presentation

MATEMATIKA 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB PICARDOVA ITERACIJSKA METODA Numerična metoda za reševanje DE 1.reda, ki obenem daje zadostne pogoje za rešljivost DE 1.reda. (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).) Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),...po rekurzivnem pravilu: (če je f zvezna in če smemo odvajati limito) limitna funkcijay(x)je rešitev začetnega problema. 1 MATEMATIKA 2

  2. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB ...... Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex. 2 MATEMATIKA 2

  3. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB Če staf(x,y)infy’(x,y)zvezni na neki okolici točke(x0,y0) potem začetni problem ima natanko eno rešitev y=y(x)na neki okolici točke x0. Če so izpolnjeni določeni pogoji, Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična. Rešitve ni zmeraj mogoče podaljšati na celo realno os! 3 MATEMATIKA 2

  4. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LINEARNE DIFERENCIALNE ENAČBE 2. REDA Iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb sledi, da je ničelna množica dvodimenzionalna. Elementi ničelne množice so oblike yH=c1y1+c2y2, kjer sta y1in y2 linearno neodvisni rešitvi homogene enačbe. 3. Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2. Glavna težava pri LDE 2. reda je, v splošnem ni mogoče rešiti homogene enačbe. 4 MATEMATIKA 2

  5. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA Dovolj je, če poznamo eno rešitev homogene enačbe: potem lahko izračunamo še eno neodvisno rešitev homogene enačbe ter partikularno rešitev nehomogene enačbe. =0 (A(x)primitivnafunkcijazaa(x)) 5 MATEMATIKA 2

  6. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA = 0 = 0 6 MATEMATIKA 2

  7. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA • Partikularnorešitev dobimo v obliki • kjer sta v,wdoločena z REŠEVANJE LDE 2.REDA • Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe • Druga rešitev homogene enačbe je dana z 7 MATEMATIKA 2

  8. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LDE 2. REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI • Primeri uporabe: • nihanja • električna vezja • modeliranje metabolizma ....... • preprosto rešljiva homogena enačba • lažje računanje posebne rešitve HOMOGENA ENAČBA Poskusimo z nastavkom: y=erx(po zgledu z LDE 1.reda) par realnih ničel dvojna realna ničla par konjugiranih kompleksnih ničel 8 MATEMATIKA 2

  9. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 1.primer: par realnih ničel r1,r2: splošna rešitev: 2.primer: dvojna realna ničlar splošna rešitev: 3.primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α-iβ potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije splošna rešitev 9 MATEMATIKA 2

  10. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 10 MATEMATIKA 2

More Related