Matematika 2.

1. Matematika 2. Valószínűségszámítás

2. Eseményalgebra Mj.: A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel foglalkozik, amelyek lényegében azonos körülmények között tetszőleges számban megismételhetők, de kimenetelüket a rögzített lényeges körülményeken kívül sok más, önmagában kis hatású, tényező befolyásolja. E hatások következtében többféle eredmény jöhet létre. Az ilyen típusú jelenségeket, illetve megfigyelésüket nevezzük kísérletnek. Def.: Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek nevezzük. Jel.: Az abc nagybetűi. Pl.: A, B, C

3. Def.: Azok az események, amelyek egy kísérlet végrehajtása során csak egyféle módon következhetnek be az elemi események. Def.: Azok az események, amelyek egy kísérlet végrehajtása során többféle módon is bekövetkezhetnek az összetett események. Def.: Egy kísérlettel kapcsolatos összes elemi események halmazát nevezzük eseménytérnek. Jel.: Ω Def.: Azt az eseményt , amely a kísérlet végrehajtása során sohasem következik be lehetetlen eseménynek nevezzük. Jel.:  vagy  

4. Def.: Azt az eseményt , amely a kísérlet végrehajtása során mindig bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük. Jel.: Ω Def.: Ha minden olyan esetben, amikor az A esemény bekövetkezik, akkor a B esemény is bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy A maga után vonja B-t. Jel.: A  B Def.: Két eseményt azonosnak tekintünk, ha egy kísérlet végrehajtása során vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem, azaz AB és BA. Jel.: A = B

5. Pl.: Kísérlet: Egy szabályos dobókockával dobok. Az elemi események: A1 1-et dobok A2 2-t dobok A3 3-at dobok A4 4-et dobok A5 5-öt dobok A6 6-ot dobok Ω= A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6

6. Összetett események: P páros számot dobok T prímszámot dobok A2 P A2  T Biztos esemény: 7-nél kisebb számot dobok Lehetetlen esemény: 10-et dobok

7. Műveletek eseményekkel Def.: Adott A és B események összegén azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik. Jel.: A+B Tul.: Kommutatív: A + B = B + A Asszociatív: (A + B) + C = A + (B + C) Pl.: P+T= Páros vagy prím számot dobok AA Ω A B

8. Ω AA Def.: Adott A és B események szorzatán azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B esemény is bekövetkezik. Jel.: A∙B Tul.: Kommutatív: A ∙ B = B ∙ A Asszociatív: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) P ∙ T= Páros és prím számot, tehát 2-t dobok. Def.: Az A és B események kizárják egymást, ha szorzatuk a lehetetlen esemény. Pl.: A1 és A2 A B AA Ω A B

9. További tulajdonságok • A + A = A A ∙ A = A • A +  = A A ∙  =  • A + Ω = Ω A ∙ Ω = A • A ∙ ( B + C) = A ∙ B + A∙ C disztributív • A + ( B ∙ C) = (A + B) ∙ (A +C)

10. Def.: Azt az eseményt, ami pontosan akkor következik be ha az A esemény nem következik be az A esemény ellentett eseményének más szóval komplementerének nevezzük. Jel.: Ā Mj.: A definícióból következik, hogy egy A esemény komplementerének a komplementere az A esemény, illetve a biztos esemény komplementere a lehetetlen esemény és fordítva. Ω A

11. Tulajdonságok • A + A = Ω A ∙ A =  • A = A • Ω = Ω =  De Morgan azonosságok A + B = A ∙ B A ∙ B = A + B

12. Def.: A és B esemény különbségén azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem. Jel.: A \ B Pl.: P\T= páros számot dobok, amely nem prím Tul.: A \ B = A ∙ B Ω A B

13. Eseményalgebra axiómarendszere • Alapfogalmak: esemény, bekövetkezik • A:=A; B; C; ….. ; Ω • A Az események olyan halmaza, amely bármely két elem összegét, szorzatát, és bármely elem komplementerét tartalmazza. • Van két kitüntetett eleme a biztos és a lehetetlen esemény • Teljesül a következő 14 axióma

14. 1. A + B = B + A 2. A ∙ B = B ∙ A 3. (A + B) + C = A + (B + C ) 4. (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C ) 5. A + A = A 6. A ∙ A = A 7. A + A = Ω 8. A ∙ A =  9. A + Ω = Ω 10. A ∙ Ω = A 11. A +  = A 12. A ∙  =  13. (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C 14. (A ∙ B) + C = (A + C) ∙ (B + C) Az (A; + ; ∙ ;  ) álló struktúrát Boole-algebrának nevezzük.

15. Statisztikus valószínűség Kísérlet: Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét 35-ször Tfh. a dobássorozat a következő: F; I; I; F; F; I; I; F; I; I; F; F; I; I; F; I; I; I; F; F; I; F; I; I; F; F; F; F; I; F; F; F; F; I; I Def.: Egy kísérlet többszöri végrehajtása során egy esemény bekövetkezési gyakoriságának és a kísérletek számának a hányadosa az adott kísérlet relatív gyakorisága. k/n Vizsgáljuk az előbbi példában a fejdobások relatív gyakoriságának változását!

17. Megfigyelés: a kísérletet egyre többször elvégezve a relatív gyakoriság stabilitást mutat, egyre kisebb mértékben ingadozik egy szám körül. Def.: Azt a számot, ami körül egy véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik, az adott esemény statisztikus valószínűségének nevezzük. A szabályos érme feldobásakor a fejdobás statisztikus valószínűsége ½.

18. Teljes eseményrendszer Def.: Legyen A1, A2, A3,………An egy kísérlet lehetséges kimenetele. Az A1, A2, A3, ……… An teljes eseményrendszert alkot ha: • Egyik esemény sem lehetetlen esemény, azaz Ai≠  i  1; 2; 3…..n • Bármely két esemény szorzata a lehetetlen esemény azaz Ai ∙Aj=  i≠j i,j  1; 2; 3…..n esetén • Az események összege a biztos esemény azaz A1 + A2 + A3 +………+ An = Ω Pl.: A kockadobással kapcsolatban említett A1, A2,…A6 események teljes eseményrendszert alkotnak.

19. A valószínűség axiómái • 0  P(A)  1 • P() = 0 P(Ω) = 1 • Ha A∙B= , akkor P( A + B )= P( A )+P( B ) • Ha A1, A2, A3,….An,… páronként kizárják egymást, akkor P(A1+A2+A3+..+An…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+….+P(An)…

20. Következmények • Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt azaz AB, akkor P(A)  P(B). Pl.: P(A2)  P(T) Mj.: A továbbiakban is a kockadobásnál bevezetett eseményeket jelöli Ai, P, T. • Legyen A és B egy kísérlet két eseménye, akkor P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Pl.: P(T+P)=P(T)+P(T)-P(TP) • Legyen A B és C egy kísérlet három eseménye, akkor P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)– P(AB) – P(AC) – P(BC) +P(ABC).

21. Ha A1; A2……..An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) + ……..+P(An)=1 Pl.: P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5) + P(A6)=1 • Valamely kísérlet A eseményére és A ellentett eseményére fennáll az alábbi összefüggés. P(A) +P(A)=1 Pl.: P(T)+P(T)=1

22. A valószínűség kombinatorikus kiszámítási módja Def.: Ha az A1, A2, A3,………An egy teljes eseményrendszer, továbbá bármelyik esemény bekövetkezése egyformán valószínű, akkor klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk. Tétel: Ha az A1, A2, A3,………An klasszikus valószínűségi mező és A= A1+A2+…Ak, ahol k  n akkor P(A)=k/n. Tehát n az összes elemi esemény (összes eset) száma k pedig az A esemény bekövetkezése szempontjából kedvező esetek száma. Pl.: T=A2+A3+A5 P(T)=3/6

23. Pl. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét kétszer! Írjuk fel az eseményteret! Ω=FF; FI; IF; II A=Mindkét dobás fej. P(A)= B=Az egyik dobás fej, a másik írás. P(B)= = A=Van a dobások között írás. (Nem igaz, hogy mindkét dobás fej.) P(A)= vagy P(A)=1- P(A) = 1- =

24. Geometriai valószínűség Def.: Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg oly módon, hogy az egyes események valószínűsége az eseményekhez rendelt részhalmazok geometriai mértékével arányos, akkor az események valószínűségei geometriai valószínűségi mezőt alkotnak, a valószínűségeket geometriai valószínűségeknek nevezzük. Legyen A egy ilyen kísérlettel kapcsolatos esemény. A kísérlettel kapcsolatos teljes geometriai alakzat mértéke legyen M, az a eseménynek megfelelő részalakzat mértéke m, ekkor az A esemény valószínűségének kiszámítási módja: P(A)= .

25. Pl.: Egy pontszerű testet véletlenszerűen ejtsünk rá egy négyzet alakú lemezre. Mennyi a valószínűsége, hogy a test a négyzetbe írható körlapra esik. r= a P(A)= = a r

26. Feltételes valószínűség Def.: Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, ahol a B esemény valószínűsége nem 0, vagyis P(B)≠0. Az A eseménynek a B feltétel melletti P(A|B) feltételes valószínűsége szemléletesen az A esemény bekövetkezésének a bekövetkezését jelenti, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezett. P(A|B)=

27. Példa: Egy kétgyermekes család esetén, tudjuk, hogy az egyik gyerek lány. Mennyi a valószínűsége, hogy van fiú a családban? A= Van fiú a családban. B=Az egyik gyermek lány a családban. Ω=ff; fl; lf; ll P(A|B)= = = Mj.: A feladat megoldható az eseménytér szűkítésével is. Ω=ff; fl; lf; ll P(A|B)=

28. P(A|B)= vagy P(B|A)= Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy két esemény szorzatának valószínűsége: P(AB)=P(A|B)P(B), illetve P(AB)=P(A)∙P(B|A) Legyenek A1; A2;….An tetszőleges események, ezek szorzatának valószínűsége: P(A1∙ A2∙…. ∙ An )= P(A1)∙P(A2|A1)∙………P(An-1|A1….An-2)∙P(An|A1….An-1)

29. Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevés nélkül egymás után húzva két golyót, az első golyó fehér a második golyó piros! A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó piros. P(AB)=P(A) ∙P(B|A)=

30. Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér, 3 zöld és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevés nélkül egymás után húzva három golyót, az első golyó fehér a második zöld a harmadik piros színű! A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó zöld. C=A harmadik kihúzott golyó piros. P(ABC)=P(A)∙P(B|A)∙P(C|AB)=

31. Teljes valószínűség tétele Tétel: Ha B1; B2; …… Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i= 1…n), akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes az alábbi összefüggés. P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+…………P(A|Bn)∙P(Bn)= = Szemléltetve: Ω B B1 B2 B3 A|B2 A|B1 A|B3

32. Példa: Egy üzemben 3 gépsor termel azonos árut. Az első gépsor a teljes mennyiség 30, a második 25 a harmadik 45 százalékát termeli. Az első gépsoron gyártott áru 8, a másodikon gyártott áru 6 a harmadikon gyártott 9 százaléka selejt. Az összes áruból véletlenszerűen választunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott áru selejt? Jelölje Bi azt az eseményt, hogy a kiválasztott tételt az i. gépsor gyártotta. A jelölje, hogy a kiválasztott áru selejtes. P(B1)=0,3 P(B2)=0,25 P(B3)=0,45 P(A|B1)=0,08 P(A|B2)=0,06 P(A|B3)=0,09 P(A)=? P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+P(A|B3)∙P(B3)= = 0,3 ∙ 0,08 + 0,25 ∙ 0,06 + 0,45 ∙ 0,09 = 0,0795

33. Bayes formula Tfh. P(A)≠0 és P(B)≠0. A feltételes valószínűség definíciója alapján. P(A|B)= illetve P(B|A)= . Az első összefüggésből P(AB)=P(A|B)∙P(B). Ezt behelyettesítve a második összefüggésbe kapjuk a Bayes formulát. P(B|A)=

34. Bayes tétel * Tétel: Ha B1; B2; …… Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i= 1…n), és A tetszőleges esemény, melyre P(A) ≠0, akkor P(Bi|A)= P(Bi|A)= Biz.: A Bayes formula nevezőjébe helyettesítsük be a teljes valószínűség tételénél kapott összefüggést.

35. Példa: Az előző példa folytatása. Ha az összes áruból kiválasztunk egyet, ami selejtnek bizonyul, mennyi a valószínűsége, hogy a 2. gépsor gyártotta? P(B2|A)=? P(B1)=0,3 P(B2)=0,25 P(B3)=0,45 P(A|B1)=0,08 P(A|B2)=0,06 P(A|B3)=0,09 P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+P(A|B3)∙P(B3)= = 0,3 ∙ 0,08 + 0,25 ∙ 0,06 + 0,45 ∙ 0,09 = 0,0795 P(B2|A)= = = 0,15

36. Események függetlensége Mj. A és B esemény független, ha P(A|B)=P(A). Amennyiben P(B)=0, ez az értelmezés nem lehetséges. Az előbbi okok miatt az A és B események függetlenségét az alábbi módon definiáljuk. Def.: Az A és B események függetlenek, ha P(A∙B)=P(A)∙P(B).

37. Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevéssel egymás után húzva két golyót, az első golyó fehér a második golyó piros! A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó piros. P(AB)=P(A) ∙P(B)=