MATEMATIKA 2

1. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD Hitrostrazpadanjaradioaktivnesnovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5gizotopa14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t)količina snovi v trenutku t y’=-kykje sorazmernostnifaktor med količinosnovi in hitrostjorazpadanja(npr. za 14C je k=3.83 10-12 s-1) y(0)=C, torej je Cravno začetna količina opazovanesnovi Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrostrazpadanjapogostopodamo z razpolovnodoboT:zveza s k je kT=ln2 Razpolovnadoba14Cje (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let. 1 MATEMATIKA 2

2. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE kozmični žarki stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost DATIRANJE S 14C Rastlineabsorbirajo CO2 vbiosfero. Razmerje med 12C in14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žarkov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti. 2 MATEMATIKA 2

3. DIFERENCIALNE ENAČBE PROBLEM ZAČETNE VREDNOSTI Pridiferencialnihenačbahobravnavamodvatipanalog: • iskanje splošne rešitve splošna rešitev enačba • začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekaterih točkah predpisane funkcijske vrednosti ali morda vrednosti odvodov začetni problem rešitev 3 MATEMATIKA 2

4. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI DIFERENCIALNE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami 4 MATEMATIKA 2

5. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y)primitivnafunkcijazau(y) V(x)primitivnafunkcijazav(x) implicitna oblika splošne rešitve 5 MATEMATIKA 2

6. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Pogosto srečamo enačbe, pri katerih je odvod sorazmeren funkcijski vrednosti, vendar se sorazmernostni faktor odvisen od x. spremenljivk se ne da ločiti! 6 MATEMATIKA 2

7. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami 7 MATEMATIKA 2

8. DIFERENCIALNE ENAČBE POVZETEK • Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. • Rešitev DE je funkcija y=y(x),kizavsexustrezaenačbi. Število prostih parametrov, • od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe. • Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri. • Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem. • DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in potem integriramo vsako stran enačbe posebej. 8 MATEMATIKA 2