MATEMATIKA 2

1. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. diferencialnaenačbazaykotfunkcijox diferencialnaenačba 2. reda Reddiferencialne enačbeje red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialnaenačba3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe 1 MATEMATIKA 2

2. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda Rešitev diferencialne enačbeje funkcijay=y(x),pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0za vse x na nekem definicijskem območju. Enačba mora biti izpolnjena za vsex na nekem intervalu. 2 MATEMATIKA 2

3. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Velja: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev,ki je odvisna od nparametrov. 3 MATEMATIKA 2

4. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN GEOMETRIČNI POMEN DIFERENCIALNE ENAČBE y=y(x)je rešitev enačbey’=f(x,y) smernikoeficienttangentenagraf rešitve v točki x0je enak f(x0,y(x0)) funkcijaf(x,y)določapolje smeri: pri vsaki točki (x,y) z majhno puščico označimo smer s koeficientom f(x,y). krivulja, ki je v vseh svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y 4 MATEMATIKA 2

5. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN Polje smeri, določeno s f(x,y)=-y-sin3x. Rešitve se za x - malo razlikujejo, za x + pa povsem divergirajo. Polje smeri, določeno s f(x,y)=x2-y2+1in nekaj rešitev pripadajoče diferencialne enačbe. Vse rešitve imajo skupno asimp-toto, t.j. trend. 5 MATEMATIKA 2

6. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD Hitrostrazpadanjaradioaktivnesnovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5gizotopa14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t)količina snovi v trenutku t y’=-kykje sorazmernostnifaktor med količinosnovi in hitrostjorazpadanja(npr. za 14C je k=3.83 10-12 s-1) y(0)=C, torej je Cravno začetna količina opazovanesnovi Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrostrazpadanjapogostopodamo z razpolovnodoboT:zveza s k je kT=ln2 Razpolovnadoba14Cje (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let. 6 MATEMATIKA 2

7. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE kozmični žarki stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost DATIRANJE S 14C Rastlineabsorbirajo CO2 vbiosfero. Razmerje med 12C in14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žarkov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti. 7 MATEMATIKA 2

8. DIFERENCIALNE ENAČBE PROBLEM ZAČETNE VREDNOSTI Pridiferencialnihenačbahobravnavamodvatipanalog: • iskanje splošne rešitve splošna rešitev enačba • začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekaterih točkah predpisane funkcijske vrednosti ali morda vrednosti odvodov začetni problem rešitev 8 MATEMATIKA 2

9. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI DIFERENCIALNE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami 9 MATEMATIKA 2

10. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y)primitivnafunkcijazau(y) V(x)primitivnafunkcijazav(x) implicitna oblika splošne rešitve 10 MATEMATIKA 2

11. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Pogosto srečamo enačbe, pri katerih je odvod sorazmeren funkcijski vrednosti, vendar se sorazmernostni faktor odvisen od x. spremenljivk se ne da ločiti! 11 MATEMATIKA 2

12. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami 12 MATEMATIKA 2