GRUP Z n *

1. GRUP Zn*

2. PergandaandapatdidefinisikanpadahimpunanZn = { 0, 1, 2,… ,n-1 } daribilanganbulat modulo n. • Jikaa, bdalamZnmakapergandaandaria b ( mod n ) adalah : Gandakanbilanganbulatadanb Ambilsisapembagiandariabdengannyaitur . Berartia b = r. • Mudahdibuktikanbahwauntukn > 1 , Znmengandungidentitaspergandaan 1. Tetapidalam Zn, inversterhadappergandaantidakselaluadasehingga Znbukanlahgrupterhadapoperasipergandaan. • Untukn 2 didefinisikan Zn* = { xdalamZn | xmempunyaiinverspergandaandalamZn }.

3. Teorema V.1 • Untukn 2 maka < Zn* , . > merupakangrupabelian. Contoh V.1 • Z2* = { xdalamZ2 | xmempunyaiinverspergandaandalamZ2 } = { 1 }. • Berarti Z2* mempunyai order 1 danelemen 1 dalam Z2* mempunyaiorder 1. Grupbagiandalam Z2* hanyalah Z2*.

4. Contoh V.2 • Z3* = { xdalamZ3 | xmempunyaiinverspergandaandalamZ3 } = { 1, 2 }. • Berarti Z3* mempunyai order 2 danelemen 1 dalam Z3* mempunyai 1 karena (1) = { 1 }. Elemen 2 dalammempunyai order 2 karena (2) = { 2k | k  Z } = { 1, 2}. • GrupbagiandalamZ3* hanyalah {1} dan Z3*. Demikianjugakarenaadaelemendalam yang mempunyai order 2 makamerupakangrupsiklik.

5. Contoh V.4: • DapatdibuktikanbahwaZ8* =  1, 3, 5, 7 danmerupakansuatugrupabeliandenganorde 4 dananggotanyamemenuhi 11 = 32 = 52 = 72 = 1. • Olehkarenaituanggota-anggotanyamempunyaiorde 1 atau 2 danakibatnyaZ8* tidaksiklik. Teorema V.2 • AnggotaZn* adalahanggotaadalamZnsehinggapembagipersekutuanterbesardariadannadalah 1 ataud = FPB( a , n ) = 1.

7. Contoh V.5 • Jikapbilangan prima makasebaranganggotatidaknoldalamZpakan prima relatifdenganpsehingga Zp* =  1, 2, 3, ….., p-1 danberartiordedariZp* adalahp-1. Contoh V.6 • Z15* mengandungsemuaanggota a dalamZ15sehingga a prima relatifdengan 15. • DalamhaliniZ15* =  1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 dan 9 Z15* karena (9,15) = 3.

8. LATIHAN • Berikansifat-sifatdari Z4*. • Berikansifat-sifatdari Z5*. • Berikansifat-sifatdariZp* denganpbilangan prima. • BuktikanmengapasetiapZn* dengann 3 mempunyaiordegenap. • DiketahuiGgrupdanadalamG yang memenuhia8edana16 = e. Tentukanordeadanberialasannya. • BerikancontohkhususdarigrupGdanadalamG yang memenuhia6edana12 = etetapi order dariatidaksamadengan 12. • BerikansifatdariyaituZ6*, Z9* danZ25*.

9. TERIMA KASIH