Stereometrie

1. Stereometrie Řezy jehlanů VY_32_INOVACE_M3r0110 Mgr. Jakub Němec

2. Pravidla pro sestrojení řezu • Řezy v jehlanech mohou působit obtížněji. Když se však budeme držet již známých pravidel pro sestrojení řezu, neměl by být problém sestrojit řezy i v jehlanech. V rámci opakování si je připomeneme: • Pokud leží dva různé body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. • Dvě různé rovnoběžné roviny protíná třetí různoběžná rovina ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách. • Pokud jsou tři navzájem různoběžné roviny, které mají společný právě jeden společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice daných rovin. • Důležité je také připomenout, že stěny jehlanu nejsou navzájem rovnoběžné, a proto se druhé pravidlo bude využívat pouze v ojedinělých případech.

3. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV mějme rovinu určenou body ACV. Určete řez jehlanu danou rovinou.

4. Je zřejmé, že body A, C a V leží po dvou ve stejných stěnách jehlanu. Proto je můžeme na základě prvního pravidla spojit. Získáme tak hledaný řez.

5. Určíme viditelnost.

6. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

7. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV mějme rovinu určenou body KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a CV. Určete řez jehlanu danou rovinou.

8. Prvním krokem je opět spojení všech bodů, které leží ve stejných stěnách. Získáme tak části řezu KL a LM.

9. Nyní musíme určit část řezu v zadní stěně. Vzhledem k tomu, že víme, že přímka KL leží v dolní podstavě a zároveň v zadané rovině a přímka CD je průsečnice podstavy a zadní stěny, můžeme využít třetího pravidla a určit společný bod pro tři navzájem různoběžné roviny. V našem případě označen P.

10. Bod P náleží průsečnici zadané roviny a roviny zadní stěny. Této průsečnici zároveň náleží i bod M. Přímka MP tedy určuje řez v zadní stěně – MN.

11. Nyní známe bod v boční stěně – N. Díky tomu můžeme najít část řezu v této části jehlanu obdobně jako u zadní stěny (průsečnice zadané roviny a roviny podstavy a průsečnice podstavy a boční stěny mají společný bod R).

12. Přímka NR nám určuje část řezu NO.

13. Na závěr konstrukce nám stačí spojit body KO a řez je kompletní.

14. Určíme viditelnost.

15. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

16. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV mějme rovinu určenou body KLM, kde bod K je střed hrany BC, bod L střed hrany CV a bod M leží na hraně AV a platí |AM| : |MV| = 3 : 1. Určete řez jehlanu danou rovinou.

17. Prvním krokem je spojení bodů K a L, které leží v rovině boční stěny. Získáme tak část řezu KL.

18. Zřejmě nelze určit řez pomocí žádného z výše jmenovaných pravidel. Musíme si tedy pomoci kolmým průmětem přímky LM do roviny podstavy, čímž získáme bod P, který leží v dolní podstavě a je zároveň součástí zadané roviny.

19. Body P a K určují přímku, která je součástí zadané roviny a zároveň oba leží v dolní podstavě. Díky nim můžeme určit část řezu v dolní podstavě –KN.

20. Body M a N leží ve stejné stěně, proto je můžeme spojit a získat tak další část řezu.

21. Podobně jako v předchozím příkladu můžeme získat další část řezu pomocí pravidla o společném bodu tří navzájem různoběžných rovin. Získáme tak bod, který označme R.

22. Po nalezení bodu R je již snadným úkolem určit část řezu OL v zadní stěně jehlanu.

23. Posledním krokem je spojení bodů M a O, poněvadž leží ve stejné stěně. Řez je hotov.

24. Určíme viditelnost.

25. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

26. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV mějme rovinu určenou bodem X, který leží na hraně BV a pro který platí |BX| : |VX| = 1 : 4, a přímkou p, která leží v rovině dolní podstavy, ale nemá s dolní podstavou žádný společný bod. Určete řez jehlanu danou rovinou.

27. Nalezneme bod P, který je společný přímce a průsečnici dolní podstavy a přední stěny.

28. Body X a P nám jednoznačně určují část řezu XY v přední stěně.

29. Obdobně nalezneme i část řezu v boční stěně jehlanu. Společný bod přímky p a průsečnice boční stěny a podstavy označme R.

30. Body X a R jednoznačně určují část řezu XZ v boční stěně.

31. Nyní známe bod Z, který náleží také zadní stěně. Využijeme vlastnosti přímky p a nalezneme bod S, který náleží přímce p a zároveň leží na průsečnici podstavy a zadní stěny.

32. Body Z a S jednoznačně určují část řezu WZ v zadní stěně.

33. K dokončení řezu stačí pouze spojit body Y a W, čímž získáme poslední část řezu WY.

34. Určíme viditelnost.

35. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

36. Úkol závěrem • Urči řez v jehlanu ABCDV, který je určen rovinou: • a) BKL, kde body K a L jsou po řadě středy hra AV a CD. • b) XYZ, kde bod X je středem hrany AD, bod Y leží na hraně BV a platí |BY| : |VY| = 1 : 2 a bod Z je středem hrany CV. • c) která je určena bodem R, který leží na hraně AV a pro který platí |AR| : |RV| = 1 : 4, a přímkou p, která je rovnoběžná s úhlopříčkou podstavy AC a která prochází bodem S, jenž je středem hrany AB.

37. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.