Stereometrie

1. Stereometrie Odchylky rovin VY_32_INOVACE_M3r0116 Mgr. Jakub Němec

2. Odchylky rovin • Při zjišťování odchylek dvou rovin využijeme téměř všech znalostí, které jsme se doposud naučili. • Pro nás však bude nejdůležitější pravidlo, bez něhož nelze odchylku rovin určit: • Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. • Hlavním úkolem při hledání odchylky rovin a při získávání její velikosti pro nás bude najít kolmou rovinu. Dále bude příklad založen na dopočtení úhlu v rovinném útvaru, jenž získáme z řezu, který určí získaná kolmá rovina. • Pro velikost odchylky rovin platí, že V případě, že výsledek vyjde větší než 90°, dopočteme vedlejší úhel, tedy doplněk do 180°, což bude námi hledaná odchylka.

3. V krychli ABCDEFGH o hraně 7 cm určete odchylku rovin ACG a BDH. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

4. V tomto příkladu je evidentní, že kolmou rovinou je dolní podstava krychle (popř. horní podstava, nebo jiné rovnoběžné roviny). Vycházíme z definice kolmosti rovin, kdy jsou roviny kolmé, pokud nalezneme v jedné rovině přímku, která je kolmá k druhé rovině.

5. V nalezené rovině určíme průsečnice zadaných rovin. Tyto přímky svírají úhel, který je naší hledanou odchylkou.

6. Z vlastností čtverce (jsme ve stěně krychle) je jasné, že hledaná odchylka je (průsečnice jsou úhlopříčky ve čtverci).

7. V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin ABC a BDE. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

8. Hledaná kolmá rovina je úhlopříčná rovina v krychli.

9. Zde jsou znázorněny kolmice, které jsou kolmé na zadané roviny a zároveň leží v námi určené rovině. Rovina ACG je tedy kolmá na roviny ABC a BDE.

10. Nalezená rovina určí řez v krychli, získáme tedy rovinný útvar – v tomto případě obdélník ACGE. V něm znázorníme průsečnice s rovinami ABC a BDE, které svírají hledanou odchylku Vzhledem k tomu, že známe dva rozměry v pravoúhlém trojúhelníku ASE (a je hrana krychle a x je polovina úhlopříčky), můžeme pro výpočet využít funkce tangens.

11. 8 cm Zde vidíte výpočet (obecný – jsme přece jen v krychli, a s konkrétními hodnotami). Řešiteli však nic nebrání v dopočtení rozměru y pomocí Pythagorovy věty a poté využít jiné goniometrické funkce.

12. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a s výškou 13 cm určete odchylku rovin ABC a ADV. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

13. Rovina STV (znázorněna zeleno barvou) je kolmá k rovinám ABC a ADV. Na dalším obrázku je zdůvodnění její kolmosti.

14. Zde jsou znázorněny kolmice, které jsou kolmé na zadané roviny a zároveň leží v námi určené rovině.

15. Nalezená rovina určí řez v krychli, získáme tedy rovinný útvar – v tomto případě rovnoramenný trojúhelník STV, kde body S a T jsou po řadě středy hran AD a BC. V trojúhelníkovém řezu znázorníme průsečnice s rovinami ABC a ADV, které svírají hledanou odchylku

16. Zde je uveden výpočet úhlu. Řešiteli však nic nebrání v dopočtení rozměru w (výška boční stěny) pomocí Pythagorovy věty a poté využít jiné goniometrické funkce. cm 13 cm

17. Ještě jedna užitečná vlastnost rovin • Na závěr musíme zmínit jednu velmi důležitou vlastnost rovin, kterou lze využít pro usnadnění výpočtu odchylky rovin: • Mějme roviny , které mají určitou odchylku . Jakákoliv rovina, která bude rovnoběžná s rovinou , bude mít s rovinou stejnou odchylku • Využití této vlastnosti rovin si ukážeme v následujícím příkladu.

18. V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin ABC a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran BC, CD a CG. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

19. Odchylku rovin lze vypočítat i s rovinou KLM (museli bychom určit čtvrtinu úhlopříčky čtvercea polovinu hrany krychle – sami si můžete příklad v této podobě vyzkoušet), ale my si můžeme usnadnit práci tím, že najdeme rovnoběžnou rovinu k rovině KLM (odchylka tak bude zachována). Ta je určena body BDG (rovnoběžky KL a BD, KM a BG, LM a DG). Tento příklad už jsme dnes již řešili, takže by pro vás neměl být problém jej vyřešit.

20. Úkol závěrem • 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 12 cm určete odchylku rovin BDG a EFG. • 2) V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin BDG a CFH. • 3) V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm určete odchylku rovin BDG a EFG. • 4) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 9 cm a s výškou 5 cm určete odchylku rovin BCV a ADV.

21. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.