Materi Pokok 13 UJI KEBAIKAN SUAI- KHI-KUADRAT Sebaran Binomial dan Khi-Kuadrat

1. Materi Pokok 13 • UJI KEBAIKAN SUAI- KHI-KUADRAT • Sebaran Binomial dan Khi-Kuadrat • Untuk menentukan proporsi P = sukses dalam contoh acak berukuran n dari sebaran binomial berbeda nyata dengan proporsi P sukses dari populasi kita dapat menggunakan statistik Z, misalkan dua kejadian A1, A2, yang terjadi dengan peluang sukses = p dan gagal = 2 = 1-p. Suatu peubah acak Y1 = nP1 disebut frekuensi kejadian A1 dan nP1 sebagai nilai harapan frekuensi Y1~ b (n, p1), dengan 0 < p1 < 1 dan teorema limit pusat menyatakan • mempunyai sebaran normal N(0,1) untuk • n besar biasanya jika nP1 ≥ 5 dan n(1- P1) ≥ 5.

2. Jika Q1 = Z2 ~ χ2 (1), Y2 = n – Y1 dan P2 = 1- P1 maka Q1 dapat ditulis

3. 2. Sebaran Multinomial dan Khi-Kuadrat Secara umum ada k kejadian yang tidak menenggan satu dengan lainnya, A1, A2, …,Ak. Jika Pi = P(Ai) dan suatu percobaan yang dilakukan n kali secara bebas dan yi menunjukkan banyaknya hasil pada Ai, dengan i = 1,2,…,k maka fungsi peluang gabungan (Y1, Y2,…,Yk-1) : f (y1, y2,…,yk-1) = P(Y1= y1, Y2= y2,…,Yk-1= yk-1) dengan y1, y2,…,yk-1 merupakan bilangan bulat positif dan y1+ y2+…+ yk-1≤ n

4. Qk-1 mempunyai sebaran χ2 dengan k-1 derajat bebas. Jika kejadian A1, A2 ,…, Ak dan ingin diuji apakah Pi=P(Ai) sama dengan Pi0, i = 1,2,…,k maka hipotesis nol menjadi H0 : Pi = Pi0, i=1,2,…k dengan statistik uji dan wilayah kritik qk-1 > χ2α(k-1) Contoh 10.1. Sebungkus permen berisi 224 biji yang terdiri dari 4 warna yaitu coklat, jingga, hijau, dan kuning. Ujilah hipotesis bahwa mesin mengisi sama banyak untuk setiap warna: H0 : Pc= Pj= Ph = Pk = ¼ atau H0 : P1 = P2 = P3 =P4 = 1/4 Hasil pengamatan diperoleh bahwa dari 224 biji dicatat 42 warna coklat, 64 warna jingga, 53 warna hijau, dan 65 warna kuning. Pilih taraf nyata α = 0,05 atau tentukan perkiraan nilai P?

5. Jawaban: n = 224, nilai harapannya = nPi= 224 (1/4)= 56. Statistik uji

6. Χ2 = 6,25 < X20,05 (3) H0 tidak dapat ditolak, nilai P ≈ 0,10 atau X2(3) = 6,251. Contoh 13.2 Peubah acak X melambangkan jumlah partikel alpha yang dikeluarkan oleh barium 133 pada setiap 1/10 detik. Lima puluh pengamatan X melalui alat pengukur dan diperoleh data sebagai berikut :

7. Peneliti tertarik untuk menentukan apakah X menyebar secara Poisson. Untuk menguji H0 : X ~ P (X ; λ ), pertama carilah = 5,4 dan sekat nilai pengamatan atas himpunan A1 = {0,1,2,3}, A2 = {4}, A3 = {5}, A4={6}, A5{7}, dan A6{8,9,10,…}

8. q5 = 2,763 < 9,488 = X20,05 (4) maka tidak dapat menolak H0 pada taraf nyata 0,05 atau X ~ secara poisson.