Matematika és művészetek

1. I.Vajdasági Tehetségpont Konferencia Zenta, 2010.okt.1-2. Matematika és művészetek Fraktálok Nagy Szilvia nszilvia@yahoo.com

2. Mi is az a fraktál? • „A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható.” • Elnevezés: Benoît Mandelbrot (1975) • – fractus=törött, töredezett (az ilyen alakzatok tört számú dimenziójára utal). –nem minden fraktál tört dimenziós (pl.síkkitöltő görbék) • Ő olyan alakzatokat, ponthalmazokat nevezett fraktáloknak, melyek lényegesen szabálytalanabbak, összetettebbek, töredezettebbek, mint a klasszikus geometriában előforduló alakzatok. • Maga az elnevezés az új, már több mint 100 évvel ezelőtt is megjelennek különféle érdekes halmazok, főleg mint érdekességek, ellenpéldák.

3. Az önhasonlóság =egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. (pl.a természetben a villám mintázata, a levél erezete, a felhők formája, a hópelyhek alakja, a hegyek csipkézete, a fa ágai, a hullámok fodrozódása és még sok más) • A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy matematikai formulával le lehet írni, vagy meg lehet alkotni.

4. Hausdorff-dimenzió • Előbb definiálnunk kell egy értéketb (Hausdorff-mérték): tetsz.rögzített A halmazra a Hs(A) mennyiség az s paraméter minden értékére  vagy 0. • Def: Mivel Hs(A) az s paraméternek monoton csökkenő függvénye, f(s)= Hs(A) alakú, azaz létezik s0[0,], hogy ha ts0, akkor Ht(A)= , és ha s0 t, akkor Ht(A)=0. • Ez az s0szám az A halmaz Hausdorff-dimenziója.

5. Topológiai dimenziók • Ez sem teljesen jól definiált: lehet a kis vagy a nagy induktív dimenzió is.

6. Kis induktív dimenzió Def. Az X metrikus tér kis induktív dimenziója (jelölése: indX) a -1,0,1,2,... számok vagy szimbólum valamelyike az alábbiak szerint: 1. indX=-1 akkor és csak akkor, ha X=Ø 2. n=0,1,2,..esetén indXn, ha X-nek van olyan bázisa, hogy tetsz.B báziselemre ind(B) n-1 3. n=0,1,2,...esetén indX=n, ha indX n és indXn-1 4. indX= , ha indXn minden n-re, n=-1,0,1,...

7. Nagy induktív dimenzió Def. Az X metrikus tér nagy induktív dimenziója (jelölése: IndX) a -1,0,1,2,... számok vagy a  szimbólum valamelyike az alábbiak szerint: 1. IndX=-1 akkor és csak akkor, ha X=Ø 2. n=0,1,2,..esetén IndXn, ha bármely két diszjunkt zárt halmaz szeparálható olyan C halmazzal, amelyre IndCn-1 3. n=0,1,2,...esetén IndX=n, ha IndX n és IndXn-1 4. IndX= , ha IndXn minden n-re, n=-1,0,1,...

8. Mandelbrot definíciója • Ő azt mondja: nevezzük fraktáloknak azokat a halmazokat, melyekre a Hausdorff-dimenzió szigorúan nagyobb, mint a kis induktív dimenzió. • Ő maga állapította meg később, hogy ez így nem igaz. • Pl.az „ördögi lépcső” ez alapján nem lenne fraktál, mégis annak tekintjük illetve e definíció alapján fraktál kellene, hogy legyen minden szabálytalan, „igazi kaotikus” halmaz.

9. Lengyel szárm. francia matematikus (Varsó, 1924) • Az 1950-es években az USA-ba költözött • IBM kutatója • YALE egyetem matematikai tanszékén is dolgozott

10. James Taylor definíciója Ő definiálja a halmazok „pakolási dimenzióját” és ez alapján: Def.Egy halmaz akkor fraktál, ha a pakolási dimenziója megegyezik a Hausdorff-dimenziójával és szigorúan nagyobb, mint a kis induktív dimenzió.

11. Falconer definíciója Az alábbi tulajdonságok teljesülése esetén nevezhető egy halmaz fraktálnak: -Finom struktúrája van -Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában -Ön-hasonló -Fraktál-dimenziója nagyobb, mint a topológiai dimenziója -Egyszerűen definiálható (pl.rekurzív módon)

12. Fraktáldimenzió Nem teljesen jól definiált fogalom: lehet a hasonlósági-, a Hausdorff- és a doboz-dimenzió is. Mandelbrot a Hausdorff-dimenziót használva megállapította, hogy a legtöbb fraktálkép dimenziója nem egész. „A fraktál olyan halmaz, aminek a Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a Lebesgue-dimenziója.” Ahol a vonal Lebesgue-dimenziója egy, a felületé kettő, és így tovább. Ez alapján számítva a fraktálok hossza vagy felszíne végtelen. A Hausdorff-dimenziót szemléletesen az adja, hogy hány példányra van szükség az adott alakzatból ahhoz, hogy kirakjuk az alakzat egy nagyobb példányát. Ez csak szabályos fraktál esetén alkalmazható.

13. A fraktálgörbék dimenziója az 1 és 2 dimenzió közötti tört értéket vehetik fel. • Ez az érték azt jelöli, hogy a görbe mennyire, milyen arányban tölti ki a síkot. • Minden tört dimenziójú halmaz fraktál. Fordítva már nem igaz. • A D fraktáldimenzió a következőképpen számítható ki:

14. Pl. a Sierpinski-háromszög, ami önmagának három felére kicsinyített példányából áll, így Hausdorff-dimenziója • míg Lebesgue-dimenziója 1.

15. Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok: Mandelbrot-halmaz, Julia-halmaz, Koch-görbe, Cantor-szőnyeg

16. Cantor-halmaz • Ez a legegyszerűbben megkonstruálható fraktál. • Induljunk ki a [0,1] zárt intervallumból. • Osszuk 3 egyenlő részre, majd hagyjuk el a középső részt. Majd a 2 megmaradt részt ismét 3 egyenlő részre osztjuk és ismét elagyjuk a középső részeket. • A Cantor-halmaz azon pontok halmaza, melyek végtelen sok lépés után megmaradnak. • Ian Stewart szerint „a Cantor-halmaz egy intervallum, melyet megtámadtak az egerek; végtelen sok, egyre kisebb egér, amelyek egyre kisebbet és kisebbet harapnak” 

17. Explicit alak:

18. Sierpinski háromszög • A Cantor-halmaz síkbeli megfelelője • Kiindulás: egységnyi oldalú szabályos háromszög. • Az oldalfelező pontok összekötésével osszuk fel négy egybevágó részre, majd hagyjuk el a középső rész belső pontjait (a középső kis háromszög oldalait nem hagyjuk el). • Most a maradék 3 kis háromszögre tegyük meg az előbbi lépést. • A Sierpinski-háromszög azoknak a pontoknak a halmaza, melyek a végén megmaradnak.

21. Sierpinski piramis és inverze

22. Sierpinski-szőnyeg • A konstrukció hasonlít a Sierpinski-háromszög konstrukciójához, csak más ponthalmazból indulunk ki. • Négyzetből • 9 egybevágó részre osztjuk az oldalharmadoló pontok összekötésével, és elhagyjuk a középső kis négyzetet. • Majd a fennmaradó 8 kis négyzeten ugyanezt megtesszük és így tovább.

24. Menger-szivacs • A Sierpinski-szőnyeg térbeli megfelelője • Egy kockából indulunk ki, melyet 27 egybevágó kis kockára bontunk. • Tekintsük azt a 3 egyenest, mely áthalad a kocka középpontján és merőleges a kocka valamelyik lapjára. • Ez a 3 egyenes a 27 kis kocka közül 7-et metsz, ezeket hagyjuk el. • Ezt a lépést ismételjük meg a maradék 20 kis kockára. Majd így folytassuk tovább. • Legyen M0,M1,M2,...,Mn a kapott halmazok sorozata. • A megmaradó pontok halmaza a Menger-szivacs.

26. Koch-görbe • Síkbeli töröttvonalak határértékeként definiáljuk. • Kiinduló halmaz: K0 egységnyi hosszúságú zárt intervallum. • K1 görbét a K0 szakasz középső harmada fölé emelt szabályos háromszög alapját helyettesítjük a másik két oldalával. • Mindegyik szakasz hossza 1/3. • Ezt a lépést megismételjük mind a négy szakaszra. • A kapott sorozat határértéke a Koch-görbe.

29. Koch-féle hópehely • Az a halmaz, melyet 3 darab, végpontjainál egymáshoz illesztett Koch-görbe határol. • Olyan síkhalmaz, melynek területe véges, kerülete viszont végtelen.

31. Ördögi lépcső • Ez a fraktál egy kicsit eltér a többitől konstrukcióját és tulajdonságait tekintve. • Definiáljuk a következő függvényt: • Az f-et minden olyan pontban megadunk, melyet a Cantor-halmaz konstrukciójának első lépésében hagytunk el a intervallumból. • Legyen most • Ez a Cantor-halmaz konstrukciójának második lépésében elhagyott pontokat jelenti. • Hasonlóan, a következő négy elhagyott intervallumon f vegye fel rendre a konstans 1/8,3/8,5/8 ill.7/8 értékeket; és így tovább.

33. A kapott f függvény folytonos és monoton növekedő. • Az ördögi lépcső az a síkhalmaz, melyet az f függvény grafikonja,az x-tengely és az y=1 egyenletű egyenes határol. • Tekinthető a Cantor-halmaz „negatívjának”.

34. Pithagorasz-fa A Pithagorasz-fa négyzetekből épül fel, amik úgyhelyezkednek el, ahogy azt a Pithagorasz-tétel ábrázolásai mutatják.

36. Mandelbrot-halmaz • A Mandelbrot-halmaz elemei a komplex síkon találhatók. • z=a+bialakú számok • Az alapképletben (z → z2 + c)a z és a c komplex számok • A képlet csak iterációval alkot Mandelbrot-halmazt, amikor a z2 tagot mindig az előző művelet eredményeként kapott z értékével számítjuk újra. • A lépésenként kapott z értékek a komplex síkon egymástól mindig kissé eltérő helyet foglalnak el, és ábrázolásuk egy módja rajzolja ki a Mandelbrot-halmazt. • ha az n-edik iteráció már a végtelenbe tart és a pontot feketével ábrázoljuk, míg fehéren hagyjuk a nem végtelenbe tartó kezdő értékeket, akkor a fekete-fehér folt határa rajzolja ki a halmazt. • Amennyiben a z a változó érték, akkor Mandelbrot-halmazt kapunk, ha a c, akkor Julia-halmazt.

39. 3D nézet

40. Julia-halmaz • A Julia- és Mandelbrot-halmazok összefüggnek egymással. • Ha a Mandelbrot-halmaz belsejéből választunk c értéket, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz, ellenkező esetben viszont diffúz halmazt kapunk. • Ha a c értéke pontosan a Mandelbrot-halmaz határára esik, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális vonal, aminek területe nulla.

42. Julia-halmaz Mandelbroton belüli c-vel

43. Julia-halmaz Mandelbroton kívüli c-vel

44. 3D-s Julia-halmaz

45. Fraktálok generálása Több eljárás is létezik, de ezek mindegyike rekurzív • A leismertebb a függvényiteráció- pl. a Mandelbrot-halmazt is így származtatjuk. • Különböző dinamikai rendszerek- attraktívak • Szökési idő fraktálok: egy adott formula vagy rekurzív reláció definiálja. Az ábrán az egyes pontok színét az adja, hogy hány lépés után kerülnek el egy bizonyos távoságra az újabb és újabb helyettesítések során. Erre a típusra példa a Mandelbrot-halmaz, a Julia-halmaz, és a Lyapunov-fraktál. • Véletlen fraktálok: véletlenszerű folyamatokkal generálják őket. Ilyenek például a Brown-mozgás, a fraktális tájképek, és a Brown-fa

46. L-rendszer Kiinduláskor F jelöli a szakaszt. A további iterációkban az előző lépésben előállított vonalat jelenti. Lényegében F helyére újra és újra beillesztjük az utasítássorozatot. R és L jobbra, vagy balra való lépést jelez +, - mutatja a forgásszög előjelét A | jel 180 fokos fordulatot jelent. Ha a szög jele egymás után többször szerepel, akkor a szög megfelelő többszörösét kell venni. Az X és az Y jelek rekurzívan helyettesített szimbólumok.

48. Fraktálok a természetben Sok természeti képződmény tekinthető közelítőleg fraktálnak, de a struktúra rendszerint nem tartalmaz három-öt lépcsőnél többet. Tipikus példa a karfiol és a brokkoli, bár ez elsőre nem látszik. A természetben fellelhető fraktálok önhasonlósága nem szigorú; csak közelítő jelleggel, és statisztikusan érvényesül. Ilyenek a fák, az érrendszerek, a folyórendszerek vagy a partvonalak.