1 / 28

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

h. Q(x+h,f(x+h)). f(x+h)-f(x). g. P(X,f(X)). x+h. x. l. Persamaan Garis Singgung pada Kurva. Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah m Q = = =. Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).

guy-ingram
Download Presentation

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. h Q(x+h,f(x+h)) f(x+h)-f(x) g P(X,f(X)) x+h x l Persamaan Garis Singgung pada Kurva Perhatikan gambar di samping Gradiengarisladalah mQ= = = Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).

  2. Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka gradien garis singgungnya adalah = Persamaan garis singgung pada kurva di titik dengan gradien m dimana Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titikP (x, f(x)) pada kurva adalah

  3. Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x Jawab f(x) = y f(1) = 4 f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1 = 9 Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – 4 = 9 (x – 1) y = 9x – 5.

  4. 2.Tentukanpersamaangarissinggung padakurva y = 3 + 2x – x2sejajardengangaris 4x + y = 3 Jawab 4x + y = 3 y= -4x + 3 m2= -4 y = 3 + 2x – x2 f’(x) = -2x + 2 x = 3 f(x) = 3 + 2(3)– (3)2 f(x) = 0 y = 0 m1 = m2 -2x+2 = -4 -2x = -6 x = 3 Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah y – 0 = -4 (x – 3) y = -4x + 12

  5. LATIHAN SOAL • Diketahuikurva y = x2 – 3x + 4 dantitik A (3,4) • a. Tentukangradiengarissinggung di titikA • b. Tentukanpersamaangarissinggung di titikA • 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = –

  6. Jawaban no 1 Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titikA (3,4) y = f(x) = x2 – 3x + 4 f’(x)= 2x – 3 • a. Gradien di titik A (3,4) • m = f’(x) = 2x – 3 • = 2.3 – 3 • = 6 – 3 • = 3 • b. Persamaangarissinggung di titik A (3,4) • y – y1 = m (x – x1) • y – 4 = 3 (x – 3 ) • y – 4 = 3x – 9 • y = 3x – 5

  7. Jawaban no 2 y = 2x3tegak lurus terhadap garis y = – maka m1. m2 = -1 (– ) . m2 = -1 m2= 24 f’(x1) = 24 y = 2x3 f '(x)= 6x2 f '(x1)= 6x12 24 = 6x12 4 = x12 X1= ± 2. Untuk x1 = 2, f (x) =2x3 f (x1) = 2(23) = 16 Untuk x1 = - 2, f (x) =2x3 f (x1) = 2((-2)3) = - 16 Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – adalah y – f(x1) =f '(x1) (x – x1) y – 16 = 24 (x – 2) y =24x – 32 y – f(x1) =f '(x1) (x – x1) y – (-16) = 24 (x – (-2)) y + 16 = 24 (x + 2) y = 24x + 32

  8. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu jika seiring pertambahan nilai x ke kanan, maka nilai f(x) semakin bertambah atau f ‘(x)>0. x2 > x1 f(x2) > f(x1) y=f(x) Fungsi Naik (a)

  9. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan, maka nilai f(x) semakin berkurang atau f ‘(x)<0 x2 > x1 f(x2) < f(x1) y=f(x) Fungsi Turun (b)

  10. Contoh Soal • 1. Tentukanpada interval manafungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan: • a. Fungsinaik • b. Fungsiturun • Jawab: • f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 • f’(x) = 3x2 + 18x + 15 • Syaratfungsinaikf’(x) > 0 • 3x2 + 18x + 15 > 0 • x2 + 6x + 5 > 0 • (x+1) (x+5) > 0 • Hargabatas • x = -1 , x = -5 • Jadifungsinaikpada interval • x < 5 atau x > -1

  11. Nilai Stationer Perhatikangrafikfungsi y = f(x) disamping. Padatitik A,B,C dan D denganabsisberturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakannilai – nilaistasioner.

  12. Jenis-Jenis Stasioner Nilaistasionermaksimum Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsiyang demikiandikatakanfungsi f(x) mempunyainilaistasionermaksimum f(a) pada x = a dantitik (a,f(a)) disebuttitikbalikmaksimum.

  13. 2. Nilaistasionerbelok a. Nilai stasioner di titik B Pada: x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 Fungsiinimempunyainilaistasionerbelokturun f(b) pada x = b dantitik (b,f(b)) disebuttitikbelok.

  14. b. Nilai Stasioner di titik D Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d Fungsiinimempunyainilaistasionerbelokturun f(d) pada x = dantitik (d,f(d)) disebuttitikbelok.

  15. 3. Nilaistasionerminimum Pada: x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0 Fungsiinimempunyainilaistasioner minimum f(e) pada x = e dantitik (e,f(e)) disebuttitikbalik minimum.

  16. Contoh 1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x Jawab : f(x) = x2 + 2x f’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

  17. LATIHAN SOAL 3. Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari 4. Diketahuif(x) = - x3 + 3x2 - 1 a). Tentukantitikstasionernya b). Tentukan interval fungsinaikdan interval fungsiturun

  18. Jawaban no 3 f ' (x) = 2x - x2 Interval f(x) naik f(x) naik jika f’(x) > 0 2x – x2 > 0 x (2 – x) > 0 (x) naik pada interval : 0 < x < 2 b. Interval f(x) turun f(x) turun jika f’(x) < 0 2x – x2 < 0 x (2 – x) < 0 f(x) turunpada interval : x < 0 atau x > 2

  19. c. Interval f(x) stasioner f(x) stationer jika f’(x) = 0 2x – x2 = 0 x (2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2 Untuk x = 0 maka nilai y y y = 2 Untuk x = 2 maka nilai y y y = 2 + 4 - y = Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,

  20. Jawaban no 4 • a. Untuk mencapai titik stasioner , maka f’(x) = 0 • f(x) = - x3 + 3x2 – 1 • f’(x) = -3x2 + 6x • -3x2 + 6x = 0 • (-3x1 + 0)(x2 – 2) = 0 • Diperoleh : x1 = 0 dan x2 = 2 • Sehingga titik stasioner yang didapat adalah • x1 = 0  f(0) = -(0)3 + 3(0)2 – 1 • f(0) = -1 • jadi titik stasioner yang pertama = (0,1) • x2 = 2  f(2) = -(2)3 + 3(2)2 – 1 • f(2) = 3 • jadi titik stasioner yang kedua = (2,3)

  21. b. Tentukaninterval fungsinaikdan interval fungsiturun • Didapatkan x1 = 0 dan x2 = 2, jadi daerah asal Df terbagi menjadi tiga interval : • - - - - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - - - • Interval I 0 Interval II 2 Interval III Interval I = misalkan ambil x = -1 , f’(x) = -3x2 + 6x f’(-1) = -3(-1)2 + 6(-1) = -9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. Interval II = misalkan ambil x = 1 f’(x) = -3x2 + 6x f’(1) = -3(1)2 + 6(1) = 3 f’(x) > 0 ,maka interval II naik diberi tanda (+) positif Interval II = misalkan ambil x = 3 f’(x) = -3x2 + 6x f’(3) = -3(3)2 + 6(3) = - 9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. Kesimpulannya: f(x) naikpada interval 0 < x < 2 f(x) turunpada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞

  22. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai berikut: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat. 2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya. 3. Tentukan beberapa titik pada kurva. 4. Gambarlah kurva.

  23. Gambarlah grafik Jawab Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 y Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 y y y = -5 titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)

  24. Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya. Dari y Maka Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga : Untuk = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x1= 3 atau x2 = 4 Untuk x1 = 3 f(x) f(x) = Untuk x2 = 4 f(x) f(x) = f(x) naik jika f’(x) > 0, maka : x2 - 7x +12 > 0 (x - 3)(x - 4) > 0 x < 3 atau x > 4 f(x) turun jika f’(x) < 0, maka : x2 - 7x +12 < 0 (x - 3)(x - 4) < 0 3 < x < 4

  25. Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu Langkah 4 : Gambarlah grafiknya

  26. LATIHAN SOAL Buatlah grafiknya dari persamaany = f(x) = 3x – x3

  27. Jawab: • i. Grafikmemotongsumbu x, bila y = 0. • y= 0 = 3x – x3 • 0= x (3 – x2) • 0 = x (1 - x ) (1 + x) • ii. memotongsumbu y, jika x = 0 • y = 3x – x3 • y = 3.0 - 03 • y = 0 • Syaratstasioneradalah : f’ (x) = 0 • f’ (x) = 3 – 3x2 • =(1 - x 2) • = 3 (1 – x) (1 + x) • x = 1, x = -1 • untukx = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 • x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 • nilaistasionernya : y = 2 dan y = -2 • titikstasioner : (1,2) dan (-1,-2) titikpotongsumbu x adalah (0,0), (1,0), (-1,0) titikpotongsumbuyadalah (0,0)

  28. c. titik bantu d. gambarlah grafiknya

More Related