310 likes | 1.32k Views
MATRIKS. BUDI DARMA SETIAWAN. OPERASI DASAR MATRIKS. Hitunglah: Baris ke tiga dari AB 3B – A 2A + X = B. Hitung matriks X 2x3 jika diketahui. KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS. Hukum komutatif perkalian Bilangan real ab = ba Matriks Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 3
E N D
MATRIKS BUDI DARMA SETIAWAN
OPERASI DASAR MATRIKS • Hitunglah: • Baris ke tiga dari AB • 3B – A • 2A + X = B. Hitung matriks X2x3 jika diketahui
KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS • Hukum komutatif perkalian • Bilangan real • ab = ba • Matriks • Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 3 • Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 2 • AB = BA ?
KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (2) • Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks akan berlaku: ……
KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (3) • Hukum komutatif untuk menambahan A + B = B + A • Hukum asosiatif untuk penambahan A + (B + C) = (A + B) + C • Hukum asosiatif untuk perkalian A(BC) = (AB)C • Hukum distributif A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA
KAIDAH ILMU HITUNG MATRIKS (4) • a(B + C) = aB + aC • (a + b)C = aC + bC • (ab)C = a(bC) • a(BC) = (aB)C = B(aC) ≠ (aC)B
MATRIKS N0L • Matriks 0 adalah matriks yang semua elemen-elemennya bernilai 0 • Dalam ilmu hitung bilangan real terdapat hasil standar: • jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c (hukum peniadaan) • Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya salah satu antara a atau d bernilai 0
MATRIKS N0L • Hitung : • AB • AC • AD A ≠ 0, tetapi B ≠ C AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0
MATRIKS IDENTITAS • AI = A ; IB = B Sehingga AI dan IB terdefinisi • I Matriks identitas • I2 Matriks identitas berukuran 2 x 2
INVERS MATRIKS • Definisi: Matriks bujur sangkar A berukuran n x n mempunyai invers jika ada matriks B, sehingga AB = BA = In. Matriks B disebut matriks invers dari matriks A • B = A-1 • Tidak semua matriks memiliki invers ?
SOAL • Jika ada, carilah invers matriks berikut:
INVERS MATRIKS 2 x 2 • Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika ad-bc ≠ 0 dan matriks invers dari A adalah
PANGKAT MATRIKS • A0 = I • A1 = A • A2 = AA • A3 = AAA • An+1 = AnA = AAn • A-2 = (A-1)2
SOAL • Hitung inversnya menggunakan rumus • Hitung A-2
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) • Melakukanoperasiperkaliandanpertukaranpadabaris-barisdidalammatriks • Contoh: • 1. Oij(I) = Eij • 2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠0) • 3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠0) Baris 1 ditukar dengan baris 3 Baris 2 dikalikan -2 Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3
MATRIKS ELEMENTER • Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris elementers sebanyak 1 kali)
SIFAT MATRIKS ELEMENTER • Eij .Eij = I • Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya, ternyata nilainya sama dengan matriks elementer yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan dengan matriks A • Oij(A) = Eij . A • Oi(λ)(A) = Ei(λ≠0) . A • Oij(λ)(A) = Eij(λ≠0) . A
CONTOH • O12(A) = E12 . A
MENCARI A-1 • Cara I : menggunakan OBE • (A | I) OBE (I | A-1) Menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga
MENCARI A-1 Menambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Mengalikan baris ketiga dengan -1 Menambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Menambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama
SOAL • Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan OBE: