3.2.7.3 Fungsi Trigonometri

1. 3.2.7.3 FungsiTrigonometri • A. Sudutdalamsatuanderajad y sisiakhir  x O sisiawal Gambar 3.16 • B. Pengukuransudut Sudutdiukurdalamsatuanderajatatau radian

2. B. Pengukuransudut Sudutdiukurdalamsatuanderajatatau radian y Sudut yang diukurdarisumbu x positifkearahkiri adalahsudutpositif  positif x  negatif Sudut yang diukurdarisumbu x positifkearahkanan adalahsudutnegatif

3. C. Sudutdalamsatuan radian 1 radian = = 570 17’ 45’’ (3.37) t radian = = 570 17’ 45’’ (3.38) . t 1800 1800   0 = radian (3.40) 10 = radian (3.39) .    1800 1800

4. D. Fungsitrigonometrisudutlancip  a b c c c a sisidihadapansudut sisipembatassudut sisi miring sisi miring  b sin  = = (3.41a) cos = = (3.41b)

5. c c a b a a b b sisi miring sisidihadapansudut sisi miring sisipembatassudut sisidihadapansudut sisipembatassudut sisidihadapansudut sisipembatassudut sec  = = (3.41e) csc = = (3.41f) cot  = = (3.41d) tan  = = (3.41c)

6. Dari persamaan 3.41 dapatdibuathubungansbb.: sin  1 1 cos sin  sin  cos cos tan  = (3.42a) sec  = (3.42c) csc = (3.42d) cot  = (3.42b)

7. MasihtetapmengacupadaGambar 3.20 danteorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (bagisemuaruasdengan c2) = +  1 = + (subst. ke pers. 341a dan 3.41b) b2 c2 a2 c2 c2 c2 didapat, b a 2 2 c c sin2 + cos2 = 1 (3.43) Bagipersamaan 3.43 dengan cos2, 1 cos2 sin2 Sehinggadidapat, cos2 cos2 cos2 + = tan2 + 1 = sec2 (3.44)

8. Jikapersamaan 3.43 dengan sin2, maka didapat, 1 + cot2 = csc2 (3.45) Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebutidentitastrigonometri Contoh 3.35 Diketahuisebuahsegitigasiku-sikuterletakpadakuadran I. Jikaharga sin  = 4/5, tentukannilaifungsitrigonometrilainnya ! Penyelesaian sin2 cos2 1 sin2 sin2 sin2 + =

9. y 52 – 42 5 4  x x1 =? 0 Gambar 3.21 Teorema Pythagoras, 52 = 42 + x12 x1 = = 3 didapat, cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4

10. E. Fungsitrigonometrisudut-sudut 300 , 450 , dan 600 2a = 1  a = 1/2 a2 = 1/4 300 300 300 Pythagoras 1= a2 + b2 1 1 1 • b2 = 1 – a2 b b • b2 = 1 – a2 • b2 = 1 – 1/4 600 600 600 • b2 = 3/4 a a a • b= 1/2 Gambar 3.21b Gambar 3.21 a √ 3

11. √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3

12. 450 1 b  1/2 450 a Gambar 3.22 a = b Pythagoras : 1 = a2 + b2 2a2 = 1  a =

13. 450 1 b   1/2 1/2 450 a Gambar 3.22   2 2

15. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L sinAcosB L sinAsinB L Q S L cosA L cosAsinB A x B O R T Gambar 3.22

16. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L A x O Gambar 3.22

17. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L L cosA A x O Gambar 3.22

18. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L L cosA A x O Gambar 3.22

19. F. Fungsitrigonometriuntukpenjumlahanduasudut Untukmembahasfungsitrigonometrijumlahduasudut perhatikanGambar 3.22 berikut. P y L sinA L sinAcosB L sinAsinB L Q S L cosA L cosAsinB A x B O R T Gambar 3.22

20. sin(A+B) = sinAcosB + sinBcosA (3.46) sinAcosB + sinBcosA L sinAcosB + L cosAsinB L cosAsinB – L sinAcosB cosAcosB – sinAsinB L L PQ + QR OT – RT sin(A+B) = = = cos(A+B) = = OP L OR sin(A+B) OP tan(A+B) = = cos(A+B) cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB (3.47)

21. tanAtanB tan(A+B) = (3.48) 1 – tanAtanB sinAcosB sinAsinB cosAcosB sinBcosA + cosAcosB cosAcosB cosAcosB cosAcosB tan(A+B) = –

22. Untukfungsi-fungsitrigonometrilainnyadapatdijabarkan sendiriolehmahasiswa. Fungsitrigonometriinidapatdigunakan untukmencarihargafungsitrigonometrisuduttumpulseperti 900 + atausuduttumpullainnya. Contoh 3.36 Tentukanharga sin 1350. Penyelesaian sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900 = (1) (1/2) √ + (1/2) √ (0) = (1/2) √ 2 2 2

23. G. Grafikfungsitrigonometri 1 3 3 1 y 2 2 2 2 1 –1 2  x – O –2 –   • Gambar 3.23 • GrafikFungsi Sinus  – 

24. 1 3 1 3 2 2 2 2 y 1 –  x 2 O –2 –1 –   –   • Gambar 3.24 • GrafikFungsiCosinus

25. y x      • Gambar 3.25 • GrafikFungsi Tangent

26. y x      • Gambar 3.26 • GrafikFungsi Cotangent

27. y  1 1 3 3     – – –  –  –  –  –2 2 2 2 2  – 2 0 x  Gambar 3.27 GrafikFungsi Secant

28. y 3 1 3 1     – – –  –  –  –  2 2 2 2  – 2 0 x  –2 Gambar 3.28 GrafikFungsi Cosecant

29. Hukum sinus Untukmembuktikanhukum sinus perhatikanGambar 2.29 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.29

30.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*)  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**) • BDC  sin  = k/b  k = b sin (#) (***) (###) Dari (*) dan (**)  a sin = b sin  Dari (#) dan (##)  b sin = c sin • AEB  sin  = k/c  k = c sin  (##) sin sin sin   = = b b b sin sin sin sin a c a c Dari (***) dan (####) didapat = = (3.49) Persamaan 3.49 disebutHukum Sinus

31. I. Hukumcosinus UntukmembuktikanhukumcosinusperhatikanGambar 2.30 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.30

32.  h = b sin  sin = h/b PerhatikanADC PerhatikanBDC b2 + c2 – a2 (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 2bc = (BC)2 – (AB – AD)2 h2 = a2 – (c – b cos)2 b2 sin2  = a2 – c2 + 2bc cos – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2  + cos2 ) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga, a2 = b2 + c2 – 2bc cos ataucos  = (3.50)

33.  h = a sin  sin = h/a PerhatikanBDC PerhatikanADC a2 + c2 – b2 (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 2ac = (AC)2 – (AB – BD)2 h2 = b2 – (c – b cos  )2 a2 sin2  = b2 – c2 + 2ac cos  – a2 cos2  a2 sin2  + a2 cos2  = b2 – c2 + 2ac cos  a2 (sin2  + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos  a2 = b2 – c2 + 2ac cos  Sehingga, b2 = a2 + c2 – 2ac cos  ataucos  = (3.51)

34.  k = b sin   sin = k/b PerhatikanAEC PerhatikanAEB a2 + b2 – c2 (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 2ab = (AB)2 – (BC – CE)2 k2 = c2 – (a – b cos )2 b2 sin2  = c2 – a2 + 2ab cos  – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = c2 – a2 + 2ab cos  b2 (sin2  + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos  b2 = c2 – a2 + 2ab cos  Sehingga, b2 = c2 – a2 + 2ab cos  ataucos  = (3.52) Persamaan 3.50 s.d. 3.52 disebutHukumCosinus

35. 3.2.7.4 Fungsitrigonometriinvers Kita telahmengetahuibahwasuatufungsiakan mempunyaiinversjikafungsitersebutadalah fungsisatukesatu, yaitufungsi yang mempunyai nilaitunggaluntuksetiap domain. Sebagaicontoh f(x) = x3 + 1 adalahfungsisatu kesatukarenauntuksetiapharga x yang tunggal akanmenghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehinggadikatakanbahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akantetapi f(x) = x2bukanlahfungsisatukesatu karenauntukduaharga x yang berbedaakan menghasilkanharga f(x) yang tunggal. Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x2tidakmempunyai invers.

36. Fungsi-fungsitrigonometriadalahfungsi-fungsi yang tidaktermasukdalamgolonganfungsisatukesatu. Sebagaicontoh f(x) = sin x. Untukharga x = 0, x =  dan x = 2akanmenghasilkanharga yang samayaitu 0. Akantetapijikakitabatasi domain fungsitrigonometri makakitadapatmembuatfungsitrigonometrimenjadi fungsisatukesatu. Jadi f(x) = sinxadalahfungsisatukesatujika - < x < . Begitujugadenganfungsi-fungsitrigonometrilainnya.

37. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1atauarcsin) didefinisikan sebagai, y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1atauarccos) didefinisikan sebagai , y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y . iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1atauarctan) didefinisikan sebagai, y = tan-1 x  x = tan y , untuksetiapharga x dan -/2  y /2 iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1atauarccot) didefinisikan sebagai ,y = cot-1 x  x = cot y , untuksetiapharga x dan 0  y .

38. Definisi-definisi : v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1atauarcsec) didefinisikan sebagai ,y = sec-1 x  x = sec y , untuksetiapharga x 1 dan 0  y , kecuali y = /2 vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1atauarccosec) didefinisikansebagai y = cosec-1 x  x = cosec y , untuksetiaphargax 1 dan 0 y/2

39. y 1 1  2 2 –1 x O 1 • Grafik sin-1 x – 

40. y 1 2   x O 1 –1 • Grafik cos-1 x

41. Sifat-sifatfungsitrigonometriinvers • arcsin(sinx) = x untuk -/2  x /2 sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1 • arccos(cosx) = x untuk 0  x  cos(arccosx) = x untuk -1  x  1 • arctan(tanx) = x untuk -/2  x /2 tan(arctanx) = x untuksemuaharga x

42. Contoh 3.37 • Tentukanharga y jika,   1 1 1 1 1 untuk x  • a) y = sin-1 ( √ 2 2 2 2 2 4 4 1 • Penyelesaian 1 ) • b) y = sin-1 (- √ untuk x  2 2 2 1 1 1 • a) y = sin-1 ( √  siny = √ ) ) 2 2 2. 2 2 2 Jadi y = Jadi y = - –  –   –  • b) y = sin-1 (- √) 2 •  siny = √ 2.

43. y 1 1 1 1  4 4 2 2 • - √ • √  –1 x 1 1 2 2 O 1 2 2 –  – 

44. 3.2.7.5 Fungsihiperbolik • A. Definisi Fungsihiperbolikadalahfungsi yang mempunyaisifat yang serupadenganfungsitrigonometri. Keserupaan antarakeduafungsitersebutdapatdilihatdaridefinisi yang diberikanberikutini. sinh x = (3.53a) ex – e-x ex + e-x 2 2 cosh x = (3.53b) ex – e-x ex – e-x coth x = (3.53d) tanh x = (3.53c) ex+e-x ex+e-x

45. 2 2 sech x = (3.53e) csch x = (3.53f) ex + e-x ex – e-x B. Identitashiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat: 2 e2x –2+ e-2x ex – e-x sinh2 x = = 2 4 e2x +2+ e-2x 2 ex + e-x cosh2 x = = 4 2 e2x +2+ e-2x e2x –2+ e-2x cosh2 x – sinh2 x = cosh2 x – sinh2 x = 1 (3.54) 4 4

46. Bagipersamaan 3.54 dengan cosh2x, didapat 1 – tanh2 x = sech2 x (3.55) Bagipersamaan 3.54 dengan sinh2x, didapat coth2 x – 1= cosech2 x (3.56) 3.2.7.6 Fungsihiperbolikinvers Padadefinisisebelumnyatelahdiketahuibahwafungsi hiperbolikdefinisikandalambentukfungsieksponen. Hal iniberartibahwafungsihiperbolikinversdapat ditulisdalambentuklogaritma natural.

47. Teorema-teorema • Bukti 2x – ey + e-y = 0  kalikansemuaruasdenganey , didapat x2 +1 ey– e-y x2 +1 x2 +1 x2 +1 2x ey– e2y+ 1 = 0 atau e2y– 2x ey– 1 = 0  2    sinh-1 x = ln(x + ) (3.57) Denganmenggunakan pers. kuadrat x + x –  4x2 +4 2x  y = sinh-1x  x = sinh y = ey = = x  Berartieymempunyaiduanilai, yaitu: 2 atau

48. Perludiperhatikanbahwa, Dari duafaktadiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwa  1+ x x2 +1  Nilaieydanselalupositifuntuksembarangnilai x  Nilai x2 + 1 selalulebihbesardari x untuksembarangnilai x ln tanh-1 x = , |x| < 1 (3.59) 1 – x 1   cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 + 1 2 ey = x + (terbukti) x2 –1 x2 –1  

49. 1+ x 1+ x2  cosech-1 x = ln , x > 0 (3.61) 1+ x ln coth-1 x = , |x| > 1 (3.60) 1 – x 1 2  1– x2 1+ x sech-1 x = ln , 0 > x  0 (3.61)

50. 3.2.7.7 Fungsigenapdanganjil Suatufungsidikatakanfungsigenapjikamemenuhi : f(x) = f(–x) ( 3.63 ) Dikatakanganjiljikamemenuhi: f(–x) = –f(x) (3.64 ) Jikasuatufungsitidakmemenuhipersamaan 3.63 dan 3.64 makapersamaantersebutbukanmerupakanfungsigenap atauganjil.