InversRANK MATRIKS

1. InversRANK MATRIKS

2. SEBELUMNYA.... • Latihan dulu OBE (menentukan invers)

3. INVERS MATRIKS Definisi Misal Ip merupakan matriks diagonal pxp • Matriks Ikberukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk • Matriks Inberukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk • Jika n=k maka In = Ik = Idisebut identitas untuk setiap himpunan matriks berukuran nxn

4. Definisi Misal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X-1 merupakan matriks kxk sedemikian hingga XX-1 =X-1X=I Jika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular, selain itu matriks disebut noninvertible atau singular. Sifat-sifat invers • Jika X nonsingular, maka X-1 nonsingular dan (X-1)-1=X • Jika X dan Y keduanya nonsingularberukurankxk, maka XY nonsingular dan (XY)-1=Y-1X-1 • Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’)-1=(X-1)’

5. ORTOGONALITAS Definisi Misal X merupakan matrikskxk sedemikianhinggaX’X=I. MakaXdisebutortogonal. Definisi Misal x dan y merupakan vektor nx1. Jika Maka x dan y dikatakan ortogonal. Definisi Misal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan adalah

6. ORTOGONALITAS (2) Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan vektor ortogonal berukuran nx1. Jikamasing-masing vektor mempunyai panjang maka vektor-vektormembentukhimpunan ortonormal. Teorema Misal X merupakan matriks kxk, Xortogonal jika hanya jika kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.

7. NILAI EIGEN Definisi Misal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan  sedemikian hingga Ax = x Vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektoreigen. Contoh Diketahui tentukannilaieigendanvektoreigendarimatrikstersebut

8. NILAI EIGEN (2) Sifat-sifatnilai Eigen • JikaA merupakan matrikssimetrikxk, makanilaieigendari A semuanyabilanganriil • JikaA merupakan matrikskxkdanC matriksortogonalkxk, makanilaieigenC’ACsamadengannilaieigenA. • JikaA merupakan matrikssimetrikxk, makavektoreigen yang diperolehdarinilaieigenmatriks A adalahortogonal.

9. NILAI EIGEN (3) Teorema Misal A merupakan matriks kxk, makamatriks ortogonal P ada sedemikian hingga Dimana i untuk i = 1, 2, ... , k merupakan nilai eigen dari A

10. RANK MATRIKS Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan k vektor kolom. Jika bilangan riil a1, a2, ... , ak tidak semuanya nol sedemikian hingga ada, maka vektor x1, x2, ... ,xk disebut bergantung linier. Selain itu disebut bebas linier. MisalXmatriksberukurannxk, setiapkolomdarimatriksmerupakanvektorkolom. MatriksXdalambentukvektorkolomditulisX = [x1x2x3... xk]. RankdariX, dinyatakandenganr(X) didefinisikansebagaijumlahterbanyakvektor-vektorbebas linier padahimpunan{x1, x2,x3, ... ,xk}

11. RANK MATRIKS (2) Sifat-sifat Rank • Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana nk. Misal X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k. • Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan hanya jika r(X)=k. • Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular nxn dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) = r(XQ). • Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol kolom-kolom dari matriks • Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan kurang dari atau sama dengan rank Y

12. MATRIKS IDEMPOTEN Contoh Misal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn H=X(X ’X)-1X ‘ merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh, r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular. Sehingga, (X’X)-1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten, H2 =[X(X ’X)-1X ‘] [X(X’X)-1X ‘] Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh H2 =X(X ’X)-1(X‘X)(X ’X)-1X’ Saat (X ‘X)(X ’X)-1X=I maka H2 =X(X ’X)-1 X ‘=H (Hmerupakanmatriksidempoten)

13. TRACE MATRIKS Definisi Trace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen dari diagonal utama. Sifat-sifat Trace • Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X) • tr(XY)=tr(X)tr(Y) • Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka tr(XY)=tr(YX)

14. TRACE MATRIKS (2) Teorema Nilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu. Teorema Misal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A). Teorema Misal A1, A2, ... , Amadalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga P’AiP diagonal untuk i=1, 2, 3, ... , m adalah AiAj = AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

15. Teorema Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Maka: • Setiap Aidimana i=1, 2, 3, ... , m adalah idempoten • adalah idempoten • Ai Aj = 0 untuk ij Teorema Misal A1, A2, ... , Amadalah gabungan matriks simetri kxk. Misal r menyatakan rank dan misal ri menyatakan rank Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka

16. GENERALIZED INVERSECONDITIONAL INVERSE • Jika Anxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPLAx = gada dan unik. Solusi persamaannyaadalahx = A-1g • Jika Atidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular maka solusinya bisa dicari menggunakan GeneralizedInverse (matrikskebalikanumum)dan Conditional Inverse (matrikskebalikanbersyarat).

17. GENERALIZED INVERSE Definisi Misal A adalah matriks mxn. Jika matriks A- ada dan memenuhi 4 kondisi berikut, maka A- disebut generalized inversedari A: • AA- simetris • A-A simetris • AA-A = A • A-AA- = A- generalized inversedapatdinyatakansebagaig-invers

18. GENERALIZED INVERSE (2) Teorema MisalAmatriks mxn. • Jika rank AadalahmmakaA- = A’(AA’)-1danAA- = I. • Jika rank AadalahnmakaA- = (A’A)-1A’danA-A = I. • Jika rank Aadalahr, makag-inversdari A dapatdihitungmenggunakanlangkah: • HitungB = A’AatauB = A A’ • C1= I • Ci+1 = I(1/i)tr(CiB) – CiB, untuki=1,2,..r-1 • A-= rCrA’/tr(CrB) Catatan: Cr+1B = 0 dantr(CrB) ≠ 0