INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICE S ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM

1. INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICES ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM Pavol Chocholatý

2. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom . • Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

3. Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe , kde oneskorený argument • je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach s konštantným oneskorením • je funkciou času - vtedy hovoríme o časovo-premennom oneskorení .

4. Špeciálne, • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym oneskorením • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

5. Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením . Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

6. Oneskorenie môže by tiež distribuované • Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica. • Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritériá v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

7. Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou v snahe získať pozitívne riešenia. • Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

8. kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov, je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

9. Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením... • Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil systém dvoch integro-diferenciálnych rovníc s časovo-premenným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

10. vzhľadom na štartovacie funkcie , na intervale . Exaktné riešenie má tvar :

11. Analýza – numerický prístup: • začiatočná úloha pre ODR • voľba tvaru numerickej metódy • explicitná • implicitná • jednokroková • viackroková • voľba rádu zvolenej numerickej metódy • výpočet určitého integrálu s časovo-premennou hranicou • numerická kvadratúra --- Newtonové – Cotesové vzorce • zatvorené • otvorené • voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov

12. ODR s časovo-premenným oneskorením • koordinácia zvolených numerických metód • z hľadiska ich rádov • z hľadiska zvolených uzlov • na riešenie sústavy dvoch rovníc • realizácia výpočtov • porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

13. Realizácia výpočtov Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom : Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metóda Heunova metóda Adamsova-Moultonova metóda Milneho metóda Milneho-Simpsonova metóda Implicitná jednokroková metóda 2. rádu

14. Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom : Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre Lichobežníkové pravidlo, Simpsonové pravidlo, Triosminové pravidlo • Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

15. Uvažujme riešenie našej úlohy pre a zvolíme deliace body a tak, že pre každé do úvahy prichádzajúce body tohto intervalu platí a v ďalšom sa namiesto sústavy rovníc v premenných venujme len prvej rovnici a premennú označme pre jednoduchosť . • Na jej riešenie použijeme SÚČASNE dve rôzne metódy -prvá na výpočet po „párnych bodoch“ -druhá na výpočet z „párneho na nepárny bod“

16. PRVÁ: Nasleduje ukážka riešenia pri použití lichobežníkového pravidla: Implicitná jednokroková metóda 2.rádu aplikovaná na rovnicu je v tvare

17. Touto metódou postupujeme pre pre Teda máme (Z) Vzhľadom na charakter dolnej hranice integrálov je rozumné zvoliť krok použitej numerickej kvadratúry rovný H, platí totiž

18. a teda môžeme označiť resp. potom (Z) bude v tvare

19. Ak realizujeme výpočet integrálov zloženým lichobežníkovým pravidlom, dostaneme resp.

20. DRUHÁ: Explicitná Eulerova metóda (1.rád) v tvare aplikovaná na rovnicu je v tvare

21. Touto metódou postupujeme pre teda Vidíme, že tvar integrálu je rovnaký ako vyššie s označením , teda píšeme

22. Cieľom práce bolo • aplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“ • otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru • pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

23. Záver Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia: 1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy • všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku • výpočty sme realizovali s krokmi pri prvej metóde, resp. pri druhej metóde

24. 2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s metódami numerickej kvadratúry • takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód • „nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej • potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku • napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením

27. Literatúra: Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19 Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273 Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177 Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

28. Ďakujem za pozornosť