Hoofstuk 8

1. Inleiding • Orbitale magnetiese dipoolmoment • Die Stern - Gerlach eksperiment en elektron spin • Spin - orbitaal interaksie • Totale hoekmomentum • Spin - orbitaal interaksie - energie en waterstof energievlakke • Oorgangstempos en seleksie reëls • Vergelyking van moderne en ou kwantum teorieë Hoofstuk 8

2. ml N S r v L - e Orbitale magnetiese dipoolmoment • Beskou ’n elektron met massa m en lading -e wat met ’n snelheid v in ’n sirkelvormige Bohr baan met radius r beweeg. • Die orbitale beweging van die elektron verteenwoordig ’n atomêre elektriese stroom. • Sodanige stroomlus veroorsaak ’n magneetveld. • Let op dat per konvensie die rigting van die magneetveld bepaal word volgens die ekwivalente beweging van positiewe ladingsdraers. • Die magneetveld is op relatief groot afstande identies aan die veld van ’n elementêre magnetiese dipool wat by die oorsprong van die stroomlus geleë is en met sy dipool - as loodreg op die vlak van die stroomlus. • Vir ’n stroom i met lusarea A = p r2 is: • Omdat die elektron negatief is sal die rigting van sy magnetiese dipool te assosieer met sy orbitale beweging presies anti - parallel wees aan sy meganiese baanhoekmomentum:

3. ml N S r v L - e Orbitale magnetiese dipoolmoment

4. ml N S r v L - e Orbitale magnetiese dipoolmoment • Die twee parameters is altyd anti - parallel gerig. • Eienskappe van die een parameter (bv ruimtelike kwantisering van die baanhoekmomentum) kan direk proporsioneel ook aan die ander parameter toegeken word. • Vir redes wat later duidelik sal word skryf ons die vergelyking in ’n effens ander vorm. • Die verhouding van die elektron se magnetiesedipoolmoment tot sy baanhoekmomentum se bedrag is ’n konstante verhouding wat slegsbepaal word deur die elektron se lading tot massa verhouding.

5. ml N S r v L - e Orbitale magnetiese dipoolmoment • Die konstante mb vorm die eenheid vir die meting van magnetiese dipoolmomenta en word die Bohr magneton genoem. • Die dimensielose faktor gl word die orbitale g-faktor of die Landé g-faktor genoem. • Weens die anti-parallelle gerigtheid van die magnetiese dipoolmoment en die meganiese baanhoekmomentum kan ons die volgende vektorvergelyking neerskryf.

6. ml N S r v L - e Orbitale magnetiese dipoolmoment • Dit kan bewys word dat die verband tussen die magnetiese dipoolmoment en die baanhoekmomentum onafhanklik is van die grootte of presiese vorm van die Bohr bane. • Dieselfde verband word verkry vir ’n volledige kwantummeganiese beskrywing. • Op grond van die direk eweredige verband tussen die twee parameters en omdat die baanhoekmomentum asook sy z-komponent gekwantiseerd is kan ons sê dat ook die magnetiese dipoolmoment en sy z-komponent soortgelyk gekwantiseerd sal wees.

7. Orbitale magnetiese dipoolmoment • Soos reeds getoon word die meganiese baanhoekmomentum se bedrag en sy z- komponent gegee deur: • Die magnetiese dipoolmoment se bedrag en sy z-komponent is ook gekwantiseerd: • Die negatiewe teken dui op die anti-parallele geaardheid van die twee groothede.

8. In ’n eksterne homogene magneetveld ondervind ’n magnetiese dipool ’n draaimoment: Orbitale magnetiese dipoolmoment Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. • Hierdie magnetiese draaimoment is ’n minimum (= 0) wanneer die twee vektore parallel of anti-parallel gerig is. • Die anti-parallelle oriëntasie is a-stabiel en verteenwoordig ’n toestand met maksimum potensiële magnetiese energie. • Die magnetiese dipool sal dus altyd neig om hom parallel aan die eksterne magneetveld te rig aangesien dit die toestand van minimum potensiële energie verteenwoordig.

9. Die magnetiese potensiële energie wat die magnetiese dipool in die magneetveld besit is: Orbitale magnetiese dipoolmoment Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. • Wanneer ’n atoom met nie-parallelle oriëntasie van sy magnetiese dipoolmoment in ’n magneetveld in beweeg en daar bestaan nie ’n energie uitruilings meganisme waarvolgens dit deur draaiing parallel aan die veld kan kom nie kan dit ook nie van die oortollige potensiële energie ontslae raak nie. • By gebrek aan sodanige meganisme moet die potensiële energie behoue bly.

10. Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. • Dit beteken dat hom nie parallel aan kan draai nie. • Dus moet rondom se rigting presseseer sodanig dat die betrokke hoek konstant bly. Orbitale magnetiese dipoolmoment • Indien hierdie energie tydkonstant is beteken dit dat die hoek tussen die twee vektore konstant moet bly. • Die rede vir die presessie kan ook soos volg vanuit die volgende vergelykings beredeneer word.

11. Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. Orbitale magnetiese dipoolmoment • Die eerste vergelyking vereis dat die magnetiese dipoolmoment altyd teenoorgesteld aan die baanhoekmomentum gerig is. • Die tweede vergelyking sê dat die wringkrag wat die magneetveld op die magnetiese dipool uitoefen altyd loodreg is op die magnetiese dipoolmoment. • Die wringkrag is dus ook altyd loodreg op die baanhoekmomentum en kan nie die bedrag daarvan verander nie, maar dit sal voortdurend van rigting verander en presseseer rondom die rigting van die magneetveld (analoog aan ’n spinnende tol). • Ons kan dit soos volg visueel voorstel.

12. Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. • Die wringkrag tis ^ op m Orbitale magnetiese dipoolmoment • m kan hom nie parallel aan B rignie en moet dus rondom B presseseer. • Dieselfde geld tov L wat ook om B serigting presseseer. • Wat is die hoeksnelheid van die pressessie?

13. Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. Orbitale magnetiese dipoolmoment • Volgens Newton se wet veroorsaak die wringkrag ’n baanhoekmomentumverandering dL^L in ’n tyd dt. • Die verandering dL veroorsaak dat L deur ’n hoek wdt draai. • Die pressessies word die Lamor pressessie genoem en wword die Lamor hoeksnelheid genoem.

14. B -e Orbitale magnetiese dipoolmoment Ondersoek die situasie indien ’n homogene magneetveld aangelê word. • Ons het getoon dat die magnetiese dipoolmoment en die baanhoekmomentum om die rigting van die homogene magneetveld pressesseer teen die Lamor hoeksnelheid. Wat is die situasie indien ’n nie uniforme magneetveld aangelê word. • Hierdie krag is loodreg op beide die snelheid en die magneetveld. • Uit die figuur is dit duidelik dat die krag ’n komponent het in die rigting waarin die magneetveld groter word. • In ’n nie - uniforme magneetveld sal daar dus benewens die wringkrag wat die pressessie van die magnetiese dipoolmoment (en meganiese baanhoekmomentum) veroorsaak ook ’n netto translasie krag(in die rigting van die gradiënt van die magneetveld) wees.

15. Oond Magneet Kollimator S N Detektor Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Stern en Gerlach het die moontlike oriëntasies wat die magnetiese dipoolmoment van atome kan aanneem ondersoek deur te kyk na die defleksie van ’n bundel neutrale silwer atome wanneer dit deur ’n nie homogene magneetveld beweeg. • Die poolstukke is sodanig gevorm dat die magneetveld toeneem in die z-rigting terwyl dit konstant bly langs die atoombundel se invalsrigting. • Die magneetveld se interaksie met die magnetiese dipoolmoment van die atome sal lei tot ’n pressessie vd dipoolmoment rondom die magneetveld soos vir ’n homogene magneetveld sonder dat ’n resulterende krag op die atome inwerk.

16. Die gradiënt vd magneetveld sal egter ’n resulterende krag op die magnetiese dipoolmoment van elke atoom uitoefen. Oond Magneet Kollimator S N • Die magneetveld se interaksie met die magnetiese dipoolmoment van die atome sal lei tot ’n pressessie vd dipoolmoment rondom die magneetveld soos vir ’n homogene magneetveld sonder dat ’n resulterende krag op die atome inwerk. Detektor Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Elke atoom sal dus in die z - rigting gedeflekteer word deur ’n krag direk eweredig aan die z - komponent van sy magnetiese dipoolmoment.

17. Die gradiënt vd magneetveld sal egter ’n resulterende krag op die magnetiese dipoolmoment van elke atoom uitoefen. • Elke atoom sal dus in die z - rigting gedeflekteer word deur ’n krag direk eweredig aan die z - komponent van sy magnetiese dipoolmoment. Oond Magneet Kollimator S N Detektor Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Die waarnemings stem kwalitatief ooreen met die voorspellings in die sin dat die bundel wel opsplit. • Ons het bewys dat die z - komponent van die magnetiese dipoolmoment diskreet gekwantiseerd is volgens: met die beperking dat:

18. Oond Magneet Kollimator S N Detektor Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Die resultate is ’n direkte bewys van die diskrete kwantisering van die z - komponent vd magnetiese dipoolmoment van die atome (en dus die baanhoekmomentum van die atome). • Die eksperimente toon dat die atome ruimtelik gekwantiseerd is. N N • Kwantitatiewe verskille tussen teorie en eksperiment is egter waargeneem in die sin dat die hoeveelheid komponente waarin die bundels opgebreek het verskil het van die teoretiese voorspelling.

19. Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Vir elke l waarde behoort daar 2l + 1 verskillende waardes van ml te wees. • Die opsplitsing van die bundel behoort dus altyd in ’n onewe aantal komponente te wees behalwe vir die geval waanneer l = 0 waar geen opsplitsing behoort voor te kom nie. • Tog is opsplitsing in ’n ewe aantal komponente asook vir l = 0 waargeneem. • Hierdie verskil tussen die teorie en eksperiment dui daarop dat die QM model soos tot dusver beskryf nog onvolledig is. • As oplossing vir die diskrepansie word die effek van elektronspin nou ingevoer.

20. Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Invoering hiervan spruit uit ’n eksperiment op waterstof atome in die grondtoestand dws l = 0, en ml = 0 waar opsplitsing van die bundel in twee komponente waargeneem is. • Die eksperiment bevestig dat daar ’n magnetiese dipoolmoment komponent bestaan wat onafhanklik is van die orbitaal beweging van die elektron. • Op grond van hierdie eksperimentele waarnemings neem ons aan dat die elektron ’n intrinsieke magnetiese dipoolmoment ms asook ’n intrinsieke spinhoekmomentum S met konstante bedrag besit wat ons elektronspin noem. • Ons neem ook aan dat die fisiese parameters te assosieer met elektronspin se bedrae sowel as hul komponente in een ruimtelike rigting diskreet gekwantiseerd is (net soos baanhoekmomentum) en dat dit itv spin kwantumgetalle s en ms gespesifiseer word.

21. Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Ons neem verder aan dat (soortgelyk aan wat ons verkry het in die geval van baanhoekmomentum) die verband tussen die magnetiese dipoolmoment te assosieer met elektronspin en die meganiese spinhoekmomentum gegee word deur: • Die faktor gs word die spin g-faktor of die Lande spin faktor genoem. • Die eksperimente met waterstof atome in die grondtoestand (l = 0) toon dat die bundel opsplit in twee komponente. • Dit beteken dat ms slegs twee ewe groot, maar teenoorgesteld gerigte waardes kan hê. • Indien ons ook aanneem dat die twee waardes van ms met een heeltal van mekaar verskil en net soos vir mlen l strek van +s tot -s kan die waarde van ms slegs die volgende wees: • Dit beteken dat die kwantumgetal s gegee word deur:

22. Stern-Gerlach eksp - elektron spin • Uit hierdie aannames en vanuit die eksperimentele resultate vind ’n mens dat: • Dieselfde resultate aangaande die elektron spin geassosieerde dipoolmomenta, hul kwantisering en waardes vir die magnetiese kwantumgetalle word ook vanuit die Zeeman effek eksperimente verkry. • Beteken die feit dat elektronspin ingevoer moes word om ooreenstemming met die eksperimentele metings te bewerkstellig dat die Schrödinger formalisme nie meer geldig is nie. • Hoewel die Schrödinger formalisme versoenbaar is met die konsep van elektronspin volg dit nie daaruit nie en moet dit as ’n afsonderlike postulaat ingevoer word. • Die rede hiervoor is dat die Hamiltoniaan wat ons gebruik het nie - relatiwisties is. • Dirac het, uitgaande van ’n relatiwistiese energie operator aangetoon dat elektronspin, met al die geassosieerde parameters, uit die teorie volg.

23. Spin - orbitaal interaksie. • Die interaksie tussen die magneetvelde te assosieer met die magnetiese dipoolmoment ml weens orbitaal beweging en die magnetiese dipoolmoment ms weens elektronspin word spin - orbitaal interaksie genoem. • By enkel elektron atome is dit ’n relatief swak interaksie in vergelyking met die Coulomb interaksie. • Ons sal nou sien dat dit gedeeltelik verantwoordelik is vir die opheffing in die ontaarding van die energie eiewaardes tov l. • Dit gee aanleiding tot die sg fynstruktuur in die energie eiewaardes in ’n skil. • Die oorsprong van die interne magneetveld wat ’n elektron tydens beweging in ’n een elektron atoom ondervind kan soos volg verduidelik word:

24. v r -e -e +Ze +Ze r -v Spin - orbitaal interaksie. • Bekou die beweging vanuit die verwysingsraamwerk van ’n stilstaande elektron waarom die kern met ’n spoed -v beweeg. • Die beweging verteenwoordig ’n stroomelement. • Die stroomelement veroorsaak ’n magneetveld by die elektron.(vanaf Ampere se wet) • Hierdie uitdrukking word omskryf itv die elektrostatiese veld wat die kern by die posisie van die elektron veroorsaak. • Volgens Coulomb se wet is:

25. Spin - orbitaal interaksie. • Hierdie is die magneetveld wat die elektron ondervind wanneer dit met ’n snelheid v beweeg by ’n punt in die ruimte waar die elektriese veldsterkte wat die kern skep E is. • Die magnetiese dipoolmoment msweens elektronspin kan verskillende diskreet gekwantiseerde oriëntasies in hierdie interne magneetveld wat weens orbitale beweging ontstaaninneem. • Hierdie verskillende oriëntasies stem ooreen met verskillende potensiële energieë: • Hierdie energie itv die elektron se spin hoekmomentum is: • Hierdie uitdrukking is afgelei in ’n verwysingsraamwerk waarin die elektron stilstaan.

26. Spin - orbitaal interaksie. • Wanneer ons dit skryf in die verwysingsraamwerk vir ’n bewegende elektron (stilstaande kern), word die interaksie energie gegee deur: • Dit is gerieflik om hierdie vergelyking eerder te skryf itv die interaksie tussen elektron spin en baanhoekmomentum. • Hiervoor gebruik ons die elektrostatiese potensiële energie funksie V(r) van ’n elektron op ’n afstand r vanaf ’n puntlading Ze. asook • Die elektriese veldsterkte kan dus geskryf word as:

27. Spin - orbitaal interaksie. • Ons het bewys dat die magneetveld wat ontstaan agv die twee gelaaide puntdeeltjies se relatiewe orbitaal beweging: • Omskryf die regterkantste uitdrukking deur gebruik te maak van die volgende uitdrukking van die baanhoekmomentum: • Let op dat die interne magneetveld wat agv orbitale beweging van die elektron ontstaan direk eweredig is aan die baanhoekmomentum en dat hulle rigtings ook dieselfde is.

28. Spin - orbitaal interaksie. • Die spin - orbitaal interaksie energie kan nou verkry word. • Ons het voorheen aangetoon dat: • Hierdie uitdrukking is op ’n semi-klassieke wyse verkry, maar stem ooreen met die relatiwistiese behandeling van Dirac.

29. Indien daar geen spin - orbitaal interaksie in die enkel elektron atoom plaasgevind het nie sou en onafhanklik van mekaar gekwantiseerd kon bestaan met geen onderlinge wringkragte wat hulle op mekaar sou uitoefen nie. • Beide vektore en sou onafhanklik van mekaar sodanig ge-oriënteer wees dat hulle op enige plek op die konus rondom die z - as kan voorkom op so ’n wyse dat hulle bedrae en asook hulz - komponente Lz en Sz onafhanklik van mekaar konstantes van beweging sou wees. Totale hoekmomentum. • Hierdie hoekmomentum parameters L, S, Lz en Sz word gespesifiseer in terme van die kwantumgetalle l, sml en ms en aangesien L, S, Lz en Sz in so ’n geval behoue sou bly sou hierdie reeks kwantumgetalle geskik gewees het om die atoom sisteem te beskryf. • Weens die spin - orbitaal interaksie is hierdie hoekmomentum parameters L, S, Lz en Sz egter nie konstantes van die beweging nie en sal die kwantumgetalle l, sml en ms nie ’n geskikte reeks wees om die stasionêre eiefunksies van die atoom te spesifiseer nie.

30. Die baanhoekmomentum en die spin hoekmomentum oefen weersydse wringkragte op mekaar uit (indirek weens die magnetiese interaksies van die twee dipoolmomente) sodat hulle nie onafhanklik van mekaar geöriënteerd kan wees nie. • Die gevolg van die interaksie is dat en afsonderlik rondom hul vektoriële som presesseer in plaas van om die z - as. • die totale hoekmomentum se bedrag nl Grafies kan ons die presessie soos volg voorstel. Totale hoekmomentum. • Hoedanig vind hierdie presessie plaas? • asook die totale hoekmomentum in die z - rigting nl Jz tydkonstant is. • Die x en y komponente van die totale hoekmomentum nl Jx en Jy fluktueer met tyd rondom hul tyd gemiddelde zero waardes.

31. Grafies kan ons die presessie soos volg voorstel. z J L S • Die hoekmomentum vektore en presesseer rondom hul resultant op sodanige wyse dat hulle komponente in die rigting van konstant bly en dus bly J konstant. • Gelyktydig daarmee kan gevind word op enige plek op die konus om die z-as sodanig dat sy bedrag en z-komponent Jz konstant bly. Totale hoekmomentum. • Die feit dat die totale hoekmomentum se bedrag en sy komponent in die z-rigting die konstantes van die beweging vorm, kom ook in multi-elektron sisteme voor.

32. Net so beskryf ons die kwantisasie van die totale hoekmomentum in terme van die totale hoekmomentum kwantumgetal j en die z-komponennt van die totale hoekmomentum Jz in terme van die totale hoekmomentum projeksie kwantumgetal mj. Totale hoekmomentum. • Die wyse waarop die totale hoekmomentum ontstaan uit die elektrone se orbitaal en spin hoekmomenta raak redelik gekompliseerd. • By baan en spin hoekmomentum se gekwantiseerde aard is gebruik gemaak van die geassosieerde kwantumgetalle l, ml s, en ms. met die toegelate waardes wat mj kan aanneem • Die toegelate waardes wat die kwantumgetalle j en mj kan aanneem volg vanuit:

33. Totale hoekmomentum. • Bepaal ook die moontlike waardes wat j kan aanneem. • Die maksimum waarde wat ml en ms onderskeidelik kan aanneem is l en 1/2. • Vanaf die regterkantste vergelyking is die maksimum waarde van mj gelyk aan j. • Net soos enige ander kwantumgetal bestaan j uit ’n reeks wat met heeltallige veelvoude van mekaar verskil. • Om te bepaal tot waar hierdie reeks loop beskou ons die volgende: • Met s = 1/2 blyk dit dat die ongelykheid slegs waar is vir die eerste twee elemente nl.

34. Totale hoekmomentum. • Met l = 0 bestaan daar net een waarde vir j nl: • Bepaal die moontlike waardes vd kwantumgetalle j en mj vir toestande waarvoor l = 2. • Soos gesien is s = 1/2 en vanaf die bostaande vergelyking is die moontlike waardes van j: • En die moontlike waardes van mj volg vanuit die boonste vergl.: • ’n Verdere metode wat gebruik kan word is deur die gebruik van ’n vektordiagram.

35. z z mj 5/2 mj 3/2 3/2 1/2 1/2 - 1/2 - 1/2 - 3/2 - 3/2 - 5/2 Totale hoekmomentum. • Bepaal die moontlike waardes vd kwantumgetalle j en mj vir toestande waarvoor l = 2. j = 5/2 s = 1/2 s = 1/2 l = 2 l = 2 j = 3/2

36. z J L S z mj z 5/2 mj s = 1/2 s = 1/2 3/2 3/2 j = 5/2 l = 2 l = 2 j = 3/2 1/2 1/2 - 1/2 - 1/2 - 3/2 - 3/2 - 5/2 Totale hoekmomentum. • Dit is baie belangrik om daarop te let dat hierdie vektor diagramme slegs gebruik word om ’n grafiese voorstelling van die moontlike kombinasies waarin die baan hoekmomentum en spin hoekmomentum kan koppel om die totale hoekmomentum te gee. • Die diagramme moet nie verwar word met die hoekmomentum vektore wat ons voorheen soos volg voorgestel het nie:

37. Spin - orbitaal interaksie - energie. • Ons het aangetoon dat die spin - orbitaal interaksie - energie gegee word deur: • Ons wil hierdie uitdrukking graag uitdruk in terme van die kwantumgetalle l, s en j. • Beskou die volgende dot produk: • Die spin - orbitaal interaksie - energie word dus gegee deur:

38. Die verwagtingswaarde word bereken deur gebruik te maak van die potensiële energie funksie V(r ) van die sisteem en die radiale waarskynlikheidsdigtheid van die betrokke toestand. Spin - orbitaal interaksie - energie. • Die verwagtingswaarde word gegee deur: • Wat is nou die energie vlakke van die waterstof atoom?

39. Spin - orbitaal interaksie - energie. • In hoofstuk 7 is die Schrödinger vergelyking opgelos en, na skeiding van veranderlikes, is die volgende verkry: • Aanvaarbare oplossings vir die asimutale funksie bestaan slegs vir sekere ml waardes. • Aanvaarbare oplossings vir die polêre funksie met bogenoemde ml waardes bestaan slegs vir sekere l waardes. • Aanvaarbare oplossings vir die radiale funksie met bogenoemde l waardes bestaan slegs vir sekere n waardes en lewer gekwantiseerde energie eiewaardes in ooreenstemming met die Bohr teorie van: • Die spin - orbitaal koppeling is daarna bespreek en die geassosieerde spin - orbitaal energie is gevind as:

40. In voorbeeld 8-3 is ’n skatting van hierdie energie gemaak en daar is gevind dat vir parallel aan (j = l + 1/2) die energiewaarde opwaarts verskuif met 10-4 eV en vir anti-parallel aan (j = l - 1/2) die energiewaarde afwaarts verskuif met 10-4 eV . • Geen verskuiwing vd energie eiewaarde vir = 0 word verwag nie. Vir l = 0 of te wel die s - toestande kan daar geen spin - orbitaal interaksie wees nie. (dws j = 1/2 toestande.) Spin - orbitaal interaksie - energie. • Voordat die voorspellings van die energiewaarde met eksperimentele waarde vergelyk word, moet eers ’n verdere effek ook in aanmerking geneem word. • In Sommerfeld se relatiwistiese modifikasies van die Bohr - model is gevind dat ’n energievlak verskuiwing in waterstof, as gevolg van die relatiwistiese snelheids - afhanklikheid van die massa ook omtrent 10-4 eV beloop. • Die relatiwistiese effek veroorsaak dus energie verskuiwings in die waterstof - atoom van vergelykbare grootte met die energie verskuiwings a.g.v. spin - orbitaal interaksie.

41. Spin - orbitaal interaksie - energie. • ’n Volledige beskrywing van die relatiwistiese effek op die energievlakke van die waterstof - atoom kan slegs verkry word deur gebruik te maak van die Dirac - teorie. • Resultate wat byna korrek is (behalwe vir die l = 0 toestande) kan vanuit die Schrödinger teorie verkry word deur die bytelling by die eenvoudige waterstof energievlak formule van: • die verwagtingswaarde van die energie korreksie as gevolg van die snelheidsafhanklikheid van die massa • die verwagtingswaarde van die energie korreksie as gevolg van die spin - orbitaal interaksie. • Ons is instaat om die energie - korreksie vir ’n bepaalde toestand aan te bring vir die spin - orbitaal interaksie, maar die relatiwistiese massa korreksie kan ons nog nie hanteer nie. • Hierdie korreksie sal ons nie bespreek nie omdat: • die wiskunde daaraan verbonde redelike tyd in beslag sal neem • relatiwistiese effekte (behalwe die spin - orbitaal interaksie) slegs van belang is vir waterstof en ’n paar ander atome met ’n klein atoomgetal Z.

42. Spin - orbitaal interaksie - energie. • Vir atome met medium en groot atoomgetalle is die energie korreksie te assosieer met die relatiwistiese snelheids afhanklikheid van die massa steeds in die orde van 10-4 eV. • Ons sal nou sien dat die energie korreksie a.g.v. die spin - orbitaal interaksie vinnig toeneem met toenemende atoomgetal Z. • Ons volstaan dus met die gee van die resultaat (sonder bewys) wat volg uit die volledige relatiwistiese behandeling (beide relatiwistiese effekte nl spin - orbitaal interaksie asook snelheidsafhanklikheid van die massa is ingesluit) van die waterstof atoom, volgens die Dirac teorie, waar die volgende energie waardes voorspel word:

43. Spin - orbitaal interaksie - energie. • a word die fynstruktuur konstante genoem : • Vergelyk die twee energieë • Die fynstruktuur konstante dien dus as skalingsfaktor wat in afhanklikheid vd j kwantumgetal bepaal hoeveel die energie eiewaarde verskuif tov die vorige voorspelling. • ’n Vergelyking tussen die energie eiewaardes soos deur die verskillende teorië voorspel word kan skematies soos volg voorgestel word: • Om die energie verskille (fynstruktuur) te aksensueer is die verskuiwing in die Sommerfeld en Dirac voorstellings met ‘n faktor (137)2 vergroot.

44. Dirac model Sommerfeld Energie eV 0 j = 5/2, l = 2 nq = 3 n = 3 j = 3/2, l = 1, 2 nq = 2 nq = 1 j = 1/2, l = 0, 1 n = 2 j = 3/2, l = 1 nq = 2 j = 1/2, l = 0, 1 nq = 1 -5 -10 n = 1 1,81 x 10 -4eV -15 nq = 1 j = 1/2, l = 0 Spin - orbitaal interaksie - energie. Bohr model • Die waardes van mj (wat die orientasie van die atoom in die ruimte bepaal) word nie in die Dirac diagram aangedui nie, omdat die energie onafhanklik is van die orientasie indien geen eksterne veld voorkom nie.

45. Bohr model Dirac model Sommerfeld Energie eV 0 j = 5/2, l = 2 nq = 3 n = 3 j = 3/2, l = 1, 2 nq = 2 nq = 1 j = 1/2, l = 0, 1 n = 2 j = 3/2, l = 1 nq = 2 j = 1/2, l = 0, 1 nq = 1 -5 -10 n = 1 1,81 x 10 -4eV -15 nq = 1 j = 1/2, l = 0 Spin - orbitaal interaksie - energie. • (Soos reeds gesien is die energie verskuiwing te assosieer met die twee relatiwistiese efekte van dieselfde grootte orde.) • Ooreenstemming in die fyn struktuur van die energie eiewaardes soos voorspel deur Sommerfeld se relatiwistiese korreksie van die elliptiese Bohr orbitale met Dirac se kwantummeganiese beskrywing was in die geval van waterstof toevallig.

46. eV Dirac model j = 5/2, l = 2 j = 3/2, l = 1, 2 n = 3 j = 1/2, l = 0, 1 j = 3/2, l = 1 n = 2 j = 1/2, l = 0, 1 -5 -10 -15 j = 1/2, l = 0 n = 1 Spin - orbitaal interaksie - energie. • Elke energie toestand En split op in n verskillende energie - eiewaardes. • Elke toestand word gekarakteriseer deur die totale hoekmomentum kwantumgetal j. • Benewens die mj ontaarding van elke van die fyn struktuur energie eiewaardes is elkeen ook nog ontaard in die sin dat twee verskillende l - waardes dieselfde j waarde kan lewer nl j = l + 1/2 en j = l - 1/2, behalwe natuurlik die maksimum j waarde. • Die rede is dat E slegs afhang van n en j. • Die Dirac teorie voorspel egter dat baie vlakke in werklikheid oormekaar val. • In werklikheid bestaan hierdie fyn - struktuur energievlakke uit twee toestande wat energeties nie saamval nie. Dit word die Lamb verskuiwing genoem.

47. eV Dirac model j = 5/2, l = 2 j = 3/2, l = 1, 2 n = 3 j = 1/2, l = 0, 1 j = 3/2, l = 1 n = 2 j = 1/2, l = 0, 1 -5 -10 -15 j = 1/2, l = 0 n = 1 Spin - orbitaal interaksie - energie. • Die voorspelling is in 1947 deur Lamb eksperimenteel bevestig. • Die Lamb verskuiwing en die afwyking van die Lande spinfaktor vanaf 2 kan net itv QED verklaar word. • Benewens hierdie opsplitsing bestaan daar ook hiperfyn struktuur agv magnetiese interaksie met die kern spin hoekmomentum.

48. En` hn En Seleksie reëls Oorgangstempos en seleksie reëls. • H-atome wat deur onelastiese botsings opgewek is tot ’n hoër energie toestand sal spoedig, indien ongesteurd gelaat deur spontane emissie van fotone weer terug keer na ’n laer energie toestand. • In elke stralingsoorgang tussen twee toegelate energie eiewaardes En’ en En word ’n foton emitteer of absorbeer waarvan die frekwensie direk eweredig is aan die energie verskil tussen die twee vlakke. • Die diskrete frekwensies agv die stralingsoorgange wat plaasvind in so ’n versameling vrye atome vorm die spektrum. • Eksperimenteel word gevind dat elke paar toegelate energie eiewaardes nie noodwendig aanleiding gee tot ’n oorgang nie. • Oorgange word slegs waargeneem tussen energie eiewaardes waarvan die geassosieerde kwantumgetalle aan die volgende voldoen:

49. Oorgangstempos en seleksie reëls. • Die stralings oorgangswaarskynlikheid vir spontane emissie tussen elke paar toegelate energievlakke van ’n atoom is die waarskynlikheid per sekonde dat ’n atoom wat in die hoër energie toestand verkeer deur ’n stralingsproses na die laer energievlak sal oorgaan met gepaardgaande emissie van ’n foton van korresponderende energie. • Die oorgangswaarskynlikhede vir elke paar energievlakke is ’n inherente atoomeienskap net soos die karakteristieke energie eiewaardes en eiefunksies is. • Oorgangswaarskynlikhede kan eksperimenteel bepaal word vanuit ’n meting van die tempo waarteen die fotone ge - emitteer word. • Die kwantumteorie moet dus in staat wees om hierdie oorgangswaarskynlikhede te bereken. • Hierdie berekeninge word gedoen deur gebruik te maak van die eiefunksies behorende by die energie eiewaardes.

50. Oorgangstempos en seleksie reëls. • Die seleksie reëls is ’n opsommende gevolg om aan te dui welke pare van energievlakke se oorgangswaarskynlikhede is groot genoeg sodat geredelik verwag kan word om die fotone wat by die oorgang betrokke is, waar te neem. • Die stasionêre eiefunksies wat ons gevind het vir die een elektron atoom is geskik om die tyd konstante waarskynlikheidsdistribusie van die atoomsisteem te beskryf. • Wanneer die atoom egter besig is om ’n oorgang vanaf die een stasionêre toestand na ’n ander stasionêre toestand te ondergaan, sal die golffunksie wat die sisteem beskryf, gegee word deur ’n lineêre vermenging van die twee stasionêre eiefunksies. • Die waarskynlikheidsdistribusie tydens ’n oorgang sal terme bevat wat ossillatories is met ’n frekwensie van: (Ons sal dit nog aantoon.) • Die atoom se ladingsdistribusie is direk eweredig aan sy waarskynlikheidsdistribusie; d.w.s. die ladingsdistribusie moet tydens ’n oorgang ook teen die frekwensie ossilleer.